2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练第二篇第3讲函数的奇偶性

第3讲函数的奇偶性A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log126)等于()．A．－5B．－6C．－56D．－12解析f(log126)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．∵log26－2＝log232∈(0,1)，∴flog232＝12，∴f(log126)＝－12.答案D2．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()．A．－3B．－1C．1D．3解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.答案A3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是()．A．fcos2π3fsin2π3B．f(sin1)f(cos1)C．fsinπ6fcosπ6D．f(cos2)f(sin2)解析当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos2π3＝－12，sin2π3＝3212，又f－12＝f12f32，所以fcos2π3fsin2π3.答案A4．(2013·连云港一模)已知函数f(x)＝1－2－x，x≥0，2x－1，x0，则该函数是()．A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析当x0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x0时2x－10，故f(x)为R上的增函数．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案06．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.解析因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.答案－1三、解答题(共25分)7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)f(m)，求实数m的取值范围．解由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)f(m)等价于－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，|1－m||m|.解得：12m≤2.因此实数m的取值范围是12，2.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()．A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数解析由已知条件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．则f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函数f(x＋3)也是奇函数．答案D2．(2012·福建)设函数D(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则下列结论错误的是()．A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．f(x)＝2x＋sinx为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)0的解集是________.解析f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)f(2a－1)等价于－11－a1，－12a－11，1－a2a－1.解得23a1.答案23，14．若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，则下列结论：①f(x)的图像关于点12，0对称；②f(x)的图像关于直线x＝12对称；③f(x)是周期函数，且2是它的一个周期；④f(x)在区间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是________．解析由函数为奇函数且满足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f1＋x－12＝－fx－12，f12＋x＝f12－x，所以②③正确．答案②③三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋ax既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，当a≤0时，f′(x)0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，当a0时，由f′(x)＝2x3－ax20，解得x3a2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a2≤2.解得0a≤16.综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．6．(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1x3，则－1x－21，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f(x)＝－12(x－2)(1x3)．∴f(x)＝12x，－1≤x≤1，－12x－2，1x3.由f(x)＝－12，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝－12的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2014，则14≤n≤20154.又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，∴在[0,2014]上共有503个x使f(x)＝－12.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.