2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练第二篇第5讲指数与指数函数

第5讲指数与指数函数A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tanaπ6的值为()．A．0B.33C．1D.3解析由题意有3a＝9，则a＝2，∴tanaπ6＝tanπ3＝3.答案D2．(2012·天津)已知a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()．A．cbaB．cabC．bacD．bca解析a＝21.22，而b＝12－0.8＝20.8，所以1b2，c＝2log52＝log541，所以cba.答案A3．(2013·新余模拟)不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是()．A.1，－12B.1，12C.－1，－12D.－1，12解析y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令2x－12＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.答案C4．定义运算：a*b＝a，a≤b，b，ab，如1]()．A．RB．(0，＋∞)C．(0,1]D．[1，＋∞)解析f(x)＝2x*2－x＝2x，x≤0，2－x，x0，∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0f(x)≤1.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·太原模拟)已知函数f(x)＝ax，x0，a－3x＋4a，x≥0，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则a的取值范围是________．解析对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0a1，且(a－3)×0＋4a≤a0，解得0a≤14.答案0，146．若函数f(x)＝2x，x0，－2－x，x0，则函数y＝f(f(x))的值域是________．解析当x0时，有f(x)0；当x0时，有f(x)0.故f(f(x))＝2fx，fx0，－2－fx，fx0＝2－2－x，x0，－2－2x，x0.而当x0时，－1－2－x0，则122－2－x1.而当x0时，－1－2x0，则－1－2－2x－12.则函数y＝f(f(x))的值域是－1，－12∪12，1答案－1，－12∪12，1三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝2x－12x＋1.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证f(x)在R上为增函数．(1)解因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，所以f(－x)＋f(x)＝1－22－x＋1＋1－22x＋1＝2－22x＋1＋22－x＋1＝2－22x＋1＋2·2x2x＋1＝2－22x＋12x＋1＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)证明设x1，x2∈R，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝22x1－2x22x1＋12x2＋1，∵x1x2,2x1－2x20,2x1＋10,2x2＋10，∴f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．8．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)0.解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a.解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋1，即3t2－2t－10，解不等式可得tt1或t－13.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f(x)＝ax＋logax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()．A.12B.14C．2D．4解析由题意知f(1)＋f(2)＝loga2＋6，即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．答案C2．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图像是下图中的()．解析函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故0a1，所以g(x)＝loga(x＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·榆林调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x2，且f(f(1))3a2，则a的取值范围是________．解析由已知得f(1)＝21＋1＝3，故f(f(1))3a2⇔f(3)3a2⇔32＋6a3a2.解得－1a3.答案(－1,3)4．已知f(x)＝x2，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．解析x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈122－m，120－m，即g(x2)∈14－m，1－m，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥14－m，故m≥14.答案14，＋∞三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝14x－a2x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．解(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝14－x－a2－x＝4x－a·2x，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．令t＝2x，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－t－a22＋a24，当a2≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；当1a22，即2a4时，g(t)max＝ga2＝a24；当a2≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；当2a4时，f(x)的最大值为a24；当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴f′(x)＝aln2×2x－ln4×4x＝2xln2·(a－2×2x)≥0，∴a－2×2x≥0恒成立，∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4.6．(13分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解(1)当x0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，得2·22x－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x0，∴x＝1.(2)当t∈[1,2]时，2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－10，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.