2014年---模拟试题中北大学理论物理

第1页共7页2012/2013学年第二学期末考试试题（A卷）课程名称理论物理导论使用班级：11060241110602421106044111060442总分一、填空（共28分每空2分）1、对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布洛意关系hp2、薜定谔方程的表达式222iUrt3、波函数的标准条件是单值、有限、连续。4、康普顿散射实验中，入射光子与散射光子的夹角为或180°时，光子的频率减小得最多，夹角为0时，光子的频率保持不变。5、已知1和2是力学算符Fˆ不同本征值对应的本征函数，则12d0。6、对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为n2，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为2n2。二、选择题（共18分每小题2分）1、光电效应产生与下列哪些量有关（C）A、光照强度B、光照时间C、光照频率2、波函数的统计解释和态叠加原理都体现了（C）A、波的粒子性B、波的波动性C、波粒二象性3、线性谐振子的两个相邻能级间的间隔是（B）得分得分第2页共7页A、B、12C、32D、24．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：（A）A.一定也是该方程的一个解；B.一定不是该方程的解；C.Ψ与一定等价；D.无任何结论。5、关于不确定(测不准)关系有以下几种理解，其中正确的是：（C）A、粒子的动量不可能确定B、粒子的坐标不可能确定C、粒子的动量和坐标不可能同时确定6、光子的静止质量是：（A）A、零B、与频率有关C、大于零D、以上答案均不正确。7、非简并定态微扰理论的适用条件是（A）A.HEEmkkm'()()001.B.HEEmkkm'()()001.C.Hmk'1.D.EEkm()()001.三、简答题（共34分，共7小题）1、什么是厄密算符?答：（1）如果对于两任意函数和，算符ˆF满足下列等式**ˆˆ()FdxFdx则称ˆF为厄密算符，式中x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。得分第3页共7页2、简述态叠加原理。（4分）对于一般的情况，如果1和2是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加112212(,)cccc是复数也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理。或者：推广到更一般的情况，态可以表示为许多态12,,n……的线性叠加，即：112212(,,)nnncccccc…………是复数这时，态叠加原理表述为：当12,,n……是体系的可能状态时，它们的线性叠加也是体系的一个可能状态；也可以说，当体系处于态时，体系部分地处于态12,,n……中。3、请写出量子力学5个基本假定（5）量子力学一共提出了五个假设（非相对论情况）1.微观体系的状态被一个波函数完全描述。波函数应满足连续，有限，单值。2.力学量由厄密算符表示。如果经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表达式将动量p换为（－ih）与梯度符号相乘表示。3.将体系的波函数用算符的本征函数展开，在态中测得力学量的本征值的几率由展开系数确定。4.体系的波函数满足薛定谔方程。5.在全同粒子所组成的体系中，满足全同性原理（两全同粒子调换，不改变体系的状态）。4、请写出统计物理中最典型的三个统计分布、对应的表达式、各自应用范围。（6分）对费米系统有费米-狄拉克分布：1lllae；（2分）对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布：1lllae；（2分）对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布：lllae。（2分）5、写出薛定谔方程求解过程（1）按照求解微分方程的方法求解得到通解；（2）按照波函数的标准条件：单值、有限、连续确定满足要求的特解；（3）归一化处理确定常数的值。第4页共7页四、证明题（共10分）1、已知湮灭算符ˆa、产生算符ˆa分别表示为：ˆˆˆˆˆˆiaxpiaxp（1）求证：算符ˆˆ,aa满足如下对易关系：2ˆˆ,aa；22222222ˆˆˆˆˆˆ[,](),()ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()2ˆˆˆˆ22*iiaaxpxpiiiixpxpxpxpiiiixpxxppxxppxpipxxpii所以，可得：2ˆˆ,aa（2）求ˆˆˆˆˆˆ,,,aaaaaa的值。解：得分第5页共7页ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ()ˆˆˆ,2ˆaaaaaaaaaaaaaaaaaaˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ()ˆˆˆ,ˆˆˆ,2ˆaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa五、计算题，请在（一）（二）中任选一题作答，分值不累加。（均为10分）（一）假设质量为μ的粒子在一维无限深势阱00()0,xaUxxxa中运动，若粒子与势阱中的状态由波函数3()()xAxax描写，A为归一化系数，求粒子能量的平均值。（一）1、解：对波函数进行归一化，有得分第6页共7页9827*262200029()()()=9472521aaaxaxaxxxdxAxaxdxAAa所以，99252252AAaa（3分）由题意，体系的哈密顿量为222,0ˆ20,0,dxaHdxxxa（2分）所以粒子能量的平均值为，22**2223*32022320227ˆ2[()][()]2()(126)2370aadEHdxdxdxdAxaxAxaxdxdxAxaxxaxdxAa（3分）将99252252AAaa带入得，22545Ea（2分）（二）一维线性谐振子处于状态2(,)xitxtAe，（1）求归一化因子A；（2）求谐振子坐标x的平均值。第7页共7页解（1）222*2-2--2-202-02()()=2222axaxxxdxAedxAedxAedaAa（3分）由归一化条件*-()()1xxdx得142A=a（3分）（2）2*2-2--=Aaxxxdxxedx因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故=0x