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学而思网校一、选择题(每小题5分,共20分)1.在平行六面体ABCD-A′B′C′D中,与向量A′B′→的模相等的向量有()A.7个B.3个C.5个D.6个解析:|D′C′→|=|DC→|=|C′D′→|=|CD→|=|BA→|=|AB→|=|B′A′→|=|A′B′→|.答案:A2.在空间四边形OABC中,OA→+AB→-CB→等于()A.OA→B.AB→C.OC→D.AC→解析:OA→+AB→-CB→=OB→-CB→=OB→+BC→=OC→.答案:C3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量AC1→的是()①(AB→+BC→)+CC1→;②(AA1→+A1D1→)+D1C1→;③(AB→+BB1→)+B1C1→;④(AA1→+A1B1→)+B1C1→.A.①③B.②④C.③④D.①②③④解析:①(AB→+BC→)+CC1→=AC→+CC1→=AC1→;②(AA1→+A1D1→)+D1C1→=AD1→+D1C1→=AC1→;③(AB→+BB1→)+B1C1→=AB1→+B1C1→=AC1→;④(AA1→+A1B1→)+B1C1→=AB1→+B1C1→=AC1→.答案:D4.如图所示,在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中,M是AC与BD的交点,若A1B1→=a,A1D1→=b,学而思网校→=c,则下列向量中与B1M→相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c解析:B1M→=B1B→+BM→=BB1→+12(BA→+BC→)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.答案:A二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知正方形ABCD的边长为1,AB→=a,BC→=b,AC→=c,则|a+b+c|等于________.解析:|a+b+c|=|AB→+BC→+AC→|=|2AC→|=22.答案:226.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA→=a,CB→=b,CC1→=c,则A1B→=________.(用a,b,c表示)解析:A1B→=CB→-CA1→=CB→-(CA→+CC1→)=-a+b-c.答案:-a+b-c三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图所示,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为5的所有向量.(3)试写出与AB→相等的所有向量.(4)试写出AA1→的相反向量.解析:(1)由于长方体的高为1,所以长方形4条高所对应的AA1→,A1A→,BB1→,B1B→,CC1→,C1C→,DD1→,D1D→这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,故模为5的向量有AD1→,D1A→,A1D→,DA1→,学而思网校→,C1B→,B1C→,CB1→共8个.(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→,DC→及D1C1→3个.(4)向量AA1→的相反向量为A1A→,B1B→,C1C→,D1D→.8.在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F分别为边CD和AD的中点,试化简AG→+13BE→-12AC→,并在图中标出化简结果的向量.解析:∵G是△BCD的重心,BE是CD边上的中线,∴GE→=13BE→,又12AC→=12(DC→-DA→)=12DC→-12DA→=DE→-DF→=FE→,∴AG→+13BE→-12AC→=AG→+GE→-FE→=AF→.尖子生题库☆☆☆9.(10分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若PA→=a,PB→=b,PC→=c.试用a,b,c表示向量BE→.解析:BE→=12(BD→+BP→)=12(BA→+BC→+BP→)学而思网校=12(PA→-PB→+PC→-PB→-PB→)=12PA→-32PB→+12PC→=12a-32b+12c.
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