2012高中数学3.1.4课时同步练习新人教A版选修2-1

学而思网校一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知A、B、C、D、E是空间五点，若{AB→，AC→，AD→}、{AB→，AC→，AE→}均不能构成空间的一个基底，则在下列各结论中，正确的结论共有()①{AB→，AD→，AE→}不构成空间的一个基底；②{AC→，AD→，AE→}不构成空间的一个基底；③{BC→，CD→，DE→}不构成空间的一个基底；④{AB→，CD→，EA→}构成空间的一个基底．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：由AB→、AC→、AD→与AB→、AC→、AE→均不能构成空间的一个基底可知AB→、AC→、AD→、AE→为共面向量，即A、B、C、D、E五点共面，故①②③为真命题．答案：B2．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②若a∥b，则a，b与任一个向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、C、D是空间四点，若BA→，BM→，BN→不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①②③都是真命题．答案：D3．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为()A.52，－1，－12B.52，1，12C．－52，1，－12D.52，1，－12解析：d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)学而思网校＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴α＋β＋γ＝1α＋β－γ＝2α－β＋γ＝3，∴α＝52，β＝－1，γ＝－12.答案：A4.如图所示，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，OA→＝a，OC→＝c，OO→′＝b，D是四边形OABC的中心，则()A.O′D→＝－a＋b＋cB.O′D→＝－b－12a－12cC.O′D→＝12a－b－12cD.O′D→＝12a－b＋12c解析：O′D→＝O′O→＋OD→＝O′O→＋12OB→＝O′O→＋12(OA→＋OC→)＝12a－b＋12c.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则从以下各向量a、b、c、a＋b、a－b、a＋c、a－c、b＋c、b－c中选出三个向量，有些可构成空间的基底，请你写出三个基底：____________.答案：①{c，a＋b，a－b}②{b，a＋c，a－c}③{a，b＋c，b－c}6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF→＋λA1D→＝0(λ∈R)，则λ＝________.学而思网校解析：如图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊12A1D，∴EF→＝12A1D→，即EF→－12A1D→＝0，∴λ＝－12.答案：－12三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：BF→、BE→、AE→、EF→.解析：连结BO，则BF→＝12BP→＝12(BO→＋OP→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE→＝BC→＋CE→＝－a＋12CP→＝－a＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c.AE→＝AP→＋PE→＝AO→＋OP→＋12(PO→＋OC→)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF→＝12CB→＝12OA→＝12a.8．已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标．解析：过A作AG垂直于平面BCD，由于AB＝AC＝AD，所以G为△BCD的中心，学而思网校∥CD，E为CD的中点，以G为原点，GA→，GE→，GF→分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△BCD的边长为a，则BE＝32a，GE＝36a，又GFCE＝23，所以GF＝23×12a＝13a，又BG＝33a，所以AG＝a2－a23＝63a，所以A0，0，63a，B0，－33a，0，Ca2，36a，0，D－a2，36a，0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若EF→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，求x＋y＋z.解析：(1)证明：∵AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→学而思网校＝AB→＋AD→＋13AA1→＋23AA1→＝AB→＋13AA1→＋AD→＋23AA1→＝AB→＋BE→＋AD→＋DF→＝AE→＋AF→，∴A、E、C1、F四点共面．(2)∵EF→＝AF→－AE→＝AD→＋DF→－(AB→＋BE→)＝AD→＋23DD1→－AB→－13BB1→＝－AB→＋AD→＋13AA1→，∴x＝－1，y＝1，z＝13，∴x＋y＋z＝13.