概率论习题课2

一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第二章随机变量及其分布习题课一、重点与难点1.重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算2.难点连续型随机变量的概率密度函数的求法二、主要内容随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数)..),(,)(,}.{,随机变量称上的单值实值函数样就得到一个定义在这与之对应有一个实数果对于每一个如它的样本空间是是随机试验设定义eXSeXSeeSE(1)随机变量与普通的函数不同随机变量随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律(3)随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型其它随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量...,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律称此为离散型随机变量为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk离散型随机变量的分布律(1)定义nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21;,2,1,010kpk;1210kkp(2)说明律也可表为离散型随机变量的分布03设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(0-1)分布或两点分布.两点分布称这样的分布为二项分布.记为).,(~pnbX的分布律为X)10,,,2,1,0(pnk二项分布1n两点分布二项分布nknknnkpqpknpqnqpnkX1110).(π~,.0,,2,1,0,!e}{,,2,1,0XXkkkXPk记为布的泊松分服从参数为则称是常数其中各个值的概率为而取的值为设随机变量所有可能取泊松分布(2)说明.}{)(,,的分布函数称为函数是任意实数是一个随机变量设XxXPxFxX.)(的一个普通实函数是分布函数xxF随机变量的分布函数(1)定义分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.);,(,1)(010xF);(),()(221210xxxFxF,0)(lim)(30xFFx;1)(lim)(xFFx);(),()(lim40000xxFxFxx即任一分布函数处处右连续.(3)性质),()(}{aFbFbXaP).(1}{aFaXP离散型随机变量的分布函数.}{)(xxkipxXPxF(4)重要公式.,)(,,d)()(,),(简称概率密度率密度函数的概称为其中为连续型随机变量则称有使对于任意实数非负函数存在的分布函数如果对于随机变量XxfXttfxFxxFXx连续型随机变量的概率密度(1)定义;0)(1oxf.1d)(2oxxf)()(}{31221oxFxFxXxP.d)(21xxfxx.)()(,)(4oxfxFxxf则有处连续在点若(2)性质.0}{aXP若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件,则有,0}{aXP若是不可能事件}{aX.0}{aXP若X为离散型随机变量连续型离散型是不可能事件则不能确定}{aX(3)注意).,(~,),(,,0,,1)(baUXbaXbxaabxfX记为区间上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度　　设连续型随机变量均匀分布(1)定义.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxFxo)(xFab1(2)分布函数.,0.0,0,0,e1)(分布的指数服从参数为则称为常数其中的概率密度为　　设连续型随机变量XθxxθxfXθx分布函数.0,0,0,e11)(xxθxFθx指数分布).,(~,,,)0(,,,eπ21)(22)(22σμNXσμXσσμxσxfXσμx记为正态分布或高斯分布的服从参数为则称为常数其中的概率密度为　　设连续型随机变量正态分布(或高斯分布)(1)定义tσxFxσμtdeπ21)(222)((2)分布函数).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx标准正态分布的分布函数表示为.,deπ21)(22xtxxt(3)标准正态分布标准正态分布的图形).1,0(~),,(~120NσμXZσμNX则若.}{20σμcσμddXcP).(1)(30xx(4)重要公式随机变量的函数的分布(1)离散型随机变量的函数的分布的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXgYX.)(,Xkpkxxx21kppp21的分布律为则)(XgYkp)(XgYkppp21)()()(21kxgxgxg(2)连续型随机变量的函数的分布.)(,也是连续型随机变量其函数是连续型随机变量如果XgYX的分布函数求出数的密度函的概率密度通常是根据计算YxfXYX)(})({}{)(yXgPyYPyFY,)(d)()(xxxfyxgX.)(的密度函数求导得到再对YyFY.)()(,))(),(max()),(),(min(的反函数是其中xgyhggβggα.,0,,)()]([)(,)(),0)((0)()(,R),(其他率密度为其概是连续型随机变量则称或恒有处处可导且恒有又设函数的具有概率密度　　设随机变量βyαyhyhfyfxgYxgxgxgxxfXXYX定理}.02{,87,45,23,1,5,2,0,2XXPaaaaX试求概率相应的概率依次为的可能取值为已知离散型随机变量[思路]首先根据概率分布的性质求出常数a的值,然后确定概率分布律的具体形式,最后再计算条件概率.利用概率分布律的性质解,1iip三、典型例题例1因此X的分布律为XP520237837123710377aaaapii87452311有,837a,837a故从而}0{}0,2{}02{XPXXPXXP}5{}2{}0{}2{}0{XPXPXPXPXP.2922.,,,21}2{.2,,21,32,11,,1,0)(的分布律并求试确定常数且的分布函数为设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX[思路]首先利用分布函数的性质求出常数a,b,再用已确定的分布函数来求分布律.解:)(的性质利用分布函数xF例2),0()(}{iiixFxFxXP,1)(F}2{21XP知)32()(aba,322ba.1ba且.65,61ba由此解得.2,1,21,21,11,61,1,0)(xxxxxF因此有从而X的分布律为XP211213161.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度求的分布函数求求系数的概率密度为已知随机变量XYxFXAxAxfXx解有由概率密度的性质,)1(xAxxfxded)(10de2xAx,2A.21A故例3,de21)()2(xxxxF有时当,0xxxFxxde21)(;e21x有时当,0x]dede[21)(00xxxxxxF;e211x所以X的分布函数为.0,e211,0,e21)(xxxFxx,0)3(2XY由于;0}{)(,0yYPyFyY有时故当有时当,0y}{}{)(2yXPyYPyFY}{yXyPyyxxde21,de2120yxx),()(yfyFYY由于有时故当,0y]de[dd)(dd0yxYxyyFy,21eyy的概率密度为从而Y,.0,00,e21)(yyyyfyY.2100,cm182)2(?01.0,)1()cm:()6,170(~2的概率顶碰头的人数不多于个成年男子与车门求若车门高为车门顶碰头的几率小于使男子与车门的高度问应如何设计公共汽车单位高设某城市成年男子的身NX[思路].2,,cm182100.,01.0}{,cm的概率求其不超过布律然后用此分的人数的分布律子中身高超过名男第二问首先要求出确定那么按设计要求应有设车门高度为llXPl例4解),6,170(~)1(2NX由题设知}{1}{lXPlXP617061701lXP)6170(1l,01.0.99.0)6170(l即,33.26170l查表得).cm(98.183l故.cm182)2(p的概率为设任一男子身高超过61701826170}182{XPXPp则)2(1.0228.0,cm182100的人数个男子中身高超过为设Y其中则),0228.0,100(~BY,9772.00228.0100}{100kkkkYP.100,,1,0k,28.2,,0228.0,100npλpn其中布来计算故可用泊松分较小较大由于从而!2e28.2!1e28.2!0e28.2}2{28.2228.228.20YP.6013.0},2{}1{}0{}2{YPYPYPYP所求概率为.,200,6001,):(,a概率至少有一只元件损坏的内小时试求在仪器使用的最初中参数其都服从同一指数分布小时单位其寿命元件立工作的同型号电子设某仪器上装有三只独[思路],200)3,2,1(的事件小时内损坏”使用的最初“在分别表示三个电子元件以iAi}{321AAAPa于是)(1321AAAP),()()(1321APAPAP例5),3,2,1()(iAPpi令.,便可得解由指数分布求出p解的概率密度为由题设知个元件的使用寿命表示第用)3,2,1(,)3,2,1(iXiiXii.0,0,0,e6001)(600xxxfx,一分布由三个电子元件服从同,)(}200{pAPXPii又因此所求概率为)()()(1321APAPAP31p331)e(1.e11从而200d)(}200{xxfXPi200600de6001xx,e31.3,2,1i备用例题