2012高考数学复习第五章平面向量5-3试题

第5章第三讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·东北三校第一次联合模考)设a，b，c是非零向量，下列命题正确的是()A．(a·b)·c＝a·(b·c)B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的角为60°D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的角为60°命题意图：考查平面向量的数量积的基本概念及运算律答案：D解析：对于选项A、B可用数量积定义判断，对于选项C、D可选用向量加、减法的几何意义，对于选项A显然错误因向量的数量积不符合结合律．(a·b)c＝|a|·|b|·cosα·c，a·(b·c)＝a·|b|·|c|cosθ(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角)(a·b)c是与c共线的向量．a·(b·c)是与a共线的向量．对于选项B.|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a2|－2|a|·|b|cosθ＋|b|2，故B错．对于选项C、D可用向量加、减法的几何意义．如图显然C不正确，D正确．对于选项D也可用下面方法设θ是a和b的夹角，∵|a|＝|b|，∴|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2|a|2－2a·b＝|a|2⇒cosθ＝12，θ＝60°，故选D.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11答案：C解析：a＋2b＝(1－6，－2＋8)＝(－5,6)，(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.故选C.3．(2009·湖北省部分重点中学高三第二次联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴a＋b＝(－1，－2)，∴a与a＋b共线且方向相反．∵cosa＋b，c＝(a＋b)·c|a＋b|·|c|＝52(－1)2＋(－2)2·5＝12，∴a＋b，c＝60°，∴a，c＝180°－a＋b，c＝120°，故选C.4．在△ABC中，若BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案：D解析：由a·b＝b·c得abcosC＝bccosA，又由正弦定理得sinAcosC＝sinCcosA，∴sin(A－C)＝0，A＝C，同理B＝C，则△ABC的形状是等边三角形，故选D.5．(2009·全国Ⅱ，6)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A.5B.10C．5D．25答案：C解析：∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，∴|b|＝5.6．(2009·浙江，5)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A．(79，73)B．(－73，－79)C．(73，79)D．(－79，－73)答案：D解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴2(y＋2)＝－3(x＋1),3x－y＝0.∴x＝－79，y＝－73，故选D.7．设a＝(4,3)，a在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为()[来源:学科网ZXXK]A．(2,14)B．(2，－27)C．(－2，27)D．(2,8)答案：B命题意图：本题考查运用向量投影公式解决问题的能力．解析：设b＝(m，n)，则a·b|b|＝522，m＝2，⇒m＝2，n＝－27，或m＝2，n＝14.∵|b|≤14，∴b＝(2，－27)，故选B.8．(2009·宁夏、湖南，9)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O、N、P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心答案：C解析：由|OA→|＝|OB→|＝|OC|→，即点O到三点A、B、C的距离相等，∴点O为△ABC的外心．如图，设D为BC边上的中点，则NB→＋NC→＝2ND→.∵NA→＋NB→＋NC→＝0，∴NA→＋2ND→＝0，∴NA→＝2DN→，∴A、D、N三点共线，∴点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，∴点N是重心．∵PA→·PB→＝PB→·PC→，∴PA→·PB→－PB→·PC→＝0，∴PB→·(PA→－PC→)＝0，∴PB→·CA→＝0，∴PB→⊥CA→.同理，PA→⊥BC→，PC→⊥AB→，∴点P是△ABC的垂心．二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·江西，13)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.[来源:学科网]答案：0解析：a－c＝(3－k，－1)，b＝(1,3)．∵(a－c)⊥b.∴1×(3－k)＋(－1)×3＝0⇒k＝0.10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝________.答案：3解析：如图所示，设AC、BD相交于点O，则AD→＝AO→＋OD→＝12AC→＋12BD→＝(12，1)＋(－32，1)＝(－1,2)．又AC→＝(1,2)，∴AD→·AC→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.11．已知OA→＝a，OB→＝b，且||a＝||b＝2，∠AOB＝60°，则||a＋b＝________；a＋b与b的夹角为________．答案：23π6解析：||a＋b＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝23；(a＋b)·b＝b2＋a·b＝6，则a＋b，b＝(a＋b)·b||a＋b||b＝623×2＝32，a＋b，b＝π6，故填23，π6.12．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值等于________．答案：－25分析：本题考查平面向量数量积的计算方法，突出运算技能的考查，为了便于比较，下面给出5种思路．解析：思路1：(向量数量积的定义)因为∠B＝90°，所以AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝|BC→|·|CA→|cos(π－∠C)＋|CA→|·|AB→|cos(π－∠A)＝－25.思路2：(向量数量积的坐标表示)由已知三角形ABC三边长为3、4、5.所以∠B＝90°.如图，以B为原点，建立直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(3,0)，(0,0)，(0,4)，所以AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA→·AB→＝(0,4)·(3，－4)＋(3，－4)·(－3,0)＝0×3＋4×(－4)＋3×(－3)＋(－4)×0＝－25.思路3：(向量数量积的运算律)因为∠B＝90°，所以AB→·BC→＝0，从而AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA→·AB→＝CA→·(AB→＋BC→)＝CA→·AC→＝－|AC→|2＝－25.思路4：(整体配凑法)受思路3启发，由广义对称思想出发可得如下更为一般的解法：AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝12[(AB→·BC→＋BC→·CA→)＋(BC→·CA→＋CA→·AB→)＋(CA→·AB→＋AB→·BC→)]＝12(BC→·CB→＋CA→·AC→＋AB→·BA→)＝12(－32－42－52)＝－25.思路5：因为AB→＋BC→＋CA→＝0，所以(AB→＋BC→＋CA→)2＝0，[来源:Z+xx+k.Com]即AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－12(|AB→|2＋|BC→|2＋|CA→|2)＝－25.总结评述：思路1,2,3都利用了∠B＝90°这一条件，对向量数量积的不同理解产生了不同的思路，而思路4和思路5不仅未用到∠B＝90°这一条件，还揭示出了更一般的结论：已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝a，|BC→|＝b，|CA→|＝c，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－12(a2＋b2＋c2)．由于向量具有“数”与“形”的双重身份，因此其运算形式丰富多彩，独具魅力，特别是思路4,5不仅简化了运算，还揭示了问题的本质．若将三点改为四点，如何？研究会继续下去．以上各问题，我们都给出了若干解法，有的题目的不同解法的繁简程度大相径庭，对于数学问题，只有抓住本质，才能发现简捷、灵活的解题方法，这里有直觉和灵感，更是知识与思想方法融会贯通，是数学学习追求的理想境界，但是，又必须指出，高考复习阶段特别是基础知识复习阶段，我们不提倡刻意追求客观题的特殊解法，只有平时的“小题大做”，才能取得考场上的“小题巧做”．三、解答题(4×10＝40分)13．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解析：由|m|＝1，|n|＝1，夹角为60°，得m·n＝12.则有|a|＝|2m＋n|＝(2m＋n)2＝4m2＋4m·n＋n2＝7.|b|＝(2n－3m)2＝4n2－12m·n＋9m2＝7.[来源:学.科.网Z.X.X.K]而a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－72，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝－727＝－12.故a，b的夹角为120°.14．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π2＜θ＜π2.(1)若a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．解析：(1)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，由此得tanθ＝－1(π2＜θ＜π2)，∴θ＝－π4，(2)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得a＋b＝(sinθ＋1,1＋cosθ)，|a＋b|＝(sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2＝3＋2(sinθ＋cosθ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π4时，|a＋b|的最大值为2＋1.15．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－(3＋m))．(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．解析：(1)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－(3＋m))，若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线．∵AB→＝(3,1)，AC→＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)＝2－m，∴实数m＝12时，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且①∠A为直角，则AB→⊥AC→，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝74.②∠B为直角，BC→＝(－1－m，－m)，则AB→⊥BC→，∴3(－1－m)＋(－m)＝0，解得m＝－34.③∠C为直角，则BC→⊥AC→，∴(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，解得m＝1±52.综上所述，m＝74或m＝－34或m＝1±52.16．(2009·湖北，17)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．思路点拨：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力．解析：(1)解法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，∴向量b＋c的长度的最大值为2.解法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2