2014年全国名校数学试题分类解析汇编N单元选修4系列1

N单元选修4系列目录N单元选修4系列.......................................................................................................................1N1选修4-1几何证明选讲......................................................................................................1N2选修4-2矩阵...................................................................................................................7N3选修4-4参数与参数方程................................................................................................7N4选修4-5不等式选讲.........................................................................................................23N5选修4-7优选法与试验设计..............................................................................................26N1选修4-1几何证明选讲【数学理卷·2014届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试（201405）】N122.选修4—1：几何证明选讲如图，已知直线PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B和点C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D和E。（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若APAC,求PAPC的值。【知识点】弦切角；相似三角形的性质．【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3解析：解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）【思路点拨】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．【数学文卷·2015届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试（201407）】N120．（10分）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且2DEEFEC.（1）求证：CEEBEFEP；（2）若:3:2CEEB，3DE，2EF，求PA的长.【知识点】相似三角形的判定和性质定理；平行线的性质；对顶角的性质；相交弦定理；切割线定理.【答案解析】（1）见解析（2）4315PA解析：解：（I）∵ECEFDE2，∴CEDF，又∵CP，∴PEDF，∴EDF∽PAE∴EPEFEDEA又∵EBCEEDEA，∴EPEFEBCE···5分（II）3BE，29CE，415BPPA是⊙O的切线，PCPBPA2，4315PA·······10分【思路点拨】（1）由已知ECEFDE2可得到CEDF．由平行线的性质可得CP，于是得到PEDF，再利用对顶角的性质即可证明EDF∽PAE．于是得到EPEFEDEA．利用相交弦定理可得EBCEEDEA，进而证明结论；（2）利用（1）的结论可得415BP，再利用切割线定理可得PCPBPA2，即可得出PA．【数学文卷·2015届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试（201407）】N115.如图，AC为⊙O的直径，OBAC，弦BN交AC于点M．若3OC，1OM，则MN的长为．【知识点】相交弦定理.【答案解析】1解析：解：由题意得：31,CMCOOM=+=+31AMAOOM=-=-,2224,2BMOBOMBM=+=\=,根据相交弦定理有,CMAMBMMN??代入数值可解得()()313112CMAMMNBM+-×===，故答案为：1.【思路点拨】求出CM、AM、BM的值再利用相交弦定理即可解出MN.【数学文卷·2015届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试（201407）】N114.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.2AD，25AC，则AB______,CD_____.COABDABCOMN【知识点】圆周角定理；三角形相似的判定.【答案解析】10,4解析：解：因为圆O上一点C在直径AB上的射影为D，所以,ACBCCDAB^^,易知,ADCACBDD∽有ACADABAC=，代入2AD，25AC可解得10AB=；同理：ADCCDBDD∽,解得4CD=,故答案为10,4.【思路点拨】由已知条件判断出,ADCACBDD∽以及ADCCDBDD∽，然后利用相似求出结果即可.【数学文卷·2015届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试（201407）】N110．如图，过圆内接四边形ABCD的顶点C引圆的切线MN，AB为圆直径，若∠BCM=038，则∠ABC=A．038B．052C．068D．042【知识点】与圆有关的角大小的求法.【答案解析】B解析：解：连结OC，∵过圆内接四边形ABCD的顶点C引圆的切线MN，AB为圆直径，∠BCM=038，∴000OCB903852?-=，∴0ABCOCB52??．故选：B．【思路点拨】解题时要注意切线性质的灵活运用，连结OC，由切线性质得0OCB52?，所以0ABCOCB52??．AOCBDNM【数学文卷·2015届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试（201407）】N14．如图在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于点O,则图中相似三角形的对数为A．1B．2C．3D．4【知识点】相似三角形的判定．【答案解析】B解析：解：在△ABC中,∵MN∥BC,MC,NB交于点O,∴图中相似三角形有：AMNABCDD∽，MONCOBDD∽，∴图中相似三角形的对数为2对．故选：B．【思路点拨】利用相似三角形判定定理求解．【数学文卷·2015届广东省湛江第一中学高二下学期期末考试（201407）】N114．(几何证明选讲)如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPA=30°,PC=_________cm【知识点】圆的性质【答案解析】33解析：联结OC，则OC⊥PC，又OC=3，∠CPA=30°,所以CP=33tan30OCcm.【思路点拨】理解圆心与切点的连线与切线垂直是解答的关键..【数学文卷·2015届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试（201407）】N122.(本小题满分10分)选修4-1：平面几何选讲如图所示，AB是⊙O直径，弦CABD,的延长线交于E，EF垂直于BA的延长线于F.求证：(1)DFADEA；（2）ACAEBDBEAB2.【知识点】与圆有关的比例线段;四点共圆的证明方法;三角形相似.【答案解析】(1)见解析（2）见解析解析：解：（1）连AD，∵AB是圆O的直径，∴90ADB则A、D、E、F四点共圆，∴DFADEA5分（2）由（1）知BFBABEBD,又ABC≌AEF∴AFACAEAB即ACAEAFAB∴2ABAFBFABAFABBFBAACAEBDBE即ACAEBEBDAB25分【思路点拨】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BFBABEBD，再利用三角形ABC≌AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得ACAEBEBDAB2.【数学文卷·2014届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试（201405）】N122、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AB为半圆O的直径,CAB,4为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作CDAD于D，交半圆于点.1,DEE(1)求证：AC平分;BAD(2)求BC的长.【知识点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【答案解析】（1）见解析（2）2BC=解析：解：（1）连接,,,OCAOACOCOAOC（1分）又CD为半圆的切线，,,CDADCDOC（2分）,,,//CADOACCADOCAADOCAC平分;BAD（5分）(2)连接,CE由(1)知,CEBC（6分）DCBA,,,四点共圆,CEDBCEDBcoscos,（8分）.2,BCABCBCEDE（10分）【思路点拨】（1）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（2）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【数学(理)卷·2015届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试（201408）】N115．（选修4-1：几何证明选讲）已知AB，BC是圆O的两条弦，AOBC，AB=3，BC=22，则圆O的半径等于________。【知识点】垂径定理.【答案解析】32解析：解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=3，BC=22，∴AD=1，∴R2=2+（R-1）2，∴R=32．故答案为：32【思路点拨】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．N2选修4-2矩阵N3选修4-4参数与参数方程【数学理卷·2015届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试（201407）】N3H417.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为232252xtyt（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin.(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线l交于,AB两点，若点P坐标为(3,5)，求PBPA的值.【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程．【答案解析】(Ⅰ)22250xyy(Ⅱ)4解析：解：(Ⅰ)∵25sin，∴225sinrrq=,所以圆C的直角坐标方程为22250xyy.(Ⅱ)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22223522tt骣骣琪琪-+=琪琪桫桫，即23240tt-+=，解得2t=或22t=,代入直线l的参数方程得251xyì=ïíï=+î或152xyì=ïíï=+î,所以A，B的坐标为()2,51+，()1,52+，∵点P坐标为(3,5)，∴()()()()222232551315524PAPB?-+--?+--=【思路点拨】(Ⅰ)圆