2014年国赛B题一等奖

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：B所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：12014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2B题创意平板折叠桌摘要本文通过建立数学模型，对平板折叠桌进行优化设计，旨在设计出产品稳固性好、加工方便、用材最少的平板折叠桌。同时根据折叠桌桌面边缘线的演化，建立了任意桌型的优化设计模型，并结合实际，设计、仿真出具有创意的平板折叠桌。对于问题一，本文建立了桌面边缘线为圆形的折叠桌离散型动态描述模型和连续型动态描述模型。离散模型实现了对产品设计参数的精确描述，结合已知尺寸，计算出此折叠桌的加工参数（滑槽位置及长度），并得出最长滑槽为17.87cm。同时，分析了每根木条随桌腿的运动情况并仿真展示。在连续模型中，将木条的运动抽象成线的运动，以此实现了桌脚边缘线的连续描述，结合运动过程仿真模拟，清晰的展示了桌脚边缘线的动态过程。对于问题二，本文建立了桌面边缘线为圆形的折叠桌优化设计模型。通过对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度的综合优化，得出最优设计尺寸和加工参数。在稳定性分析过程中，首先对立置折叠桌进行受力分析，得出只有桌腿承力，因此可进行折叠桌简化分析，确定单侧木桌重心的位置，求解力的平衡方程得出稳定条件。在尺寸设计过程中，根据稳定时的桌腿位置与高度的关系，得出平板的设计尺寸。在滑槽设计过程中，因滑槽的长短和加工位置是影响系统稳定性及木板设计尺寸的关键，同时从易于加工的角度考虑，得出符合产品设计的约束条件。根据题设折叠桌参数，结合优化设计模型得出，在地面摩擦系数为0.4和0.5，权重值为0.5的情况下，最佳木板长度均为159cm，滑槽长度为34.64cm。对于问题三，本文建立了任意桌形折叠桌优化设计模型。由于桌面形状的不确定性，需要抽象描述桌形。分析发现，任意桌形的设计必须满足沿桌长方向对称，桌宽方向桌形可不对称，这就需要根据折叠桌桌面的对称情况考虑是否需要分别优化通过重力作用点的yoz平面两侧桌型。为了表示通用的数学模型，仅对一侧建立优化模型，结合实际采用离散的优化模型，对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度进行分析。考虑到客户期望的桌脚边缘线是连续的，建立连续的设计桌脚边缘线方程，通过空间曲线间距离的积分来描述两边缘线的接近程度。综合上述条件，可以设计出稳定性好、加工方便、用材最少的任意桌形的折叠桌并得出最优设计尺寸和加工参数。结合实际，设计出具有创意的心形和菱形的平板折叠桌，并用3DMAX进行动画展示。本文脉络清晰，层层递进，分析合理，描述准确，所建立的任意桌形优化设计模型具有很强的通用性，为折叠桌软件设计提供了有力的理论支撑。关键词：折叠桌受力分析优化仿真3DMAXMATLAB3一、问题重述1.1问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。1.2目标任务问题一：给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。问题二：折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。问题三：开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。二、问题分析非创意，不生活！创意不仅是一种生活态度，更是对更高生活品质的追求。创意平板折叠桌不仅可以表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性，还可以最大程度的节省空间。题目介绍了一种新型的平板折叠桌，桌腿上固定有钢筋，钢筋贯穿桌腿之间的所有木条，钢筋沿木条内部的空槽运动，以保证该折叠桌可通过桌腿绕铰链活动平摊成一张平板。对于问题一，题目中给出平板折叠桌的高度、平面尺寸、板厚、木条宽度及钢筋位置等具体数据，由立体几何中的相关知识可以建立坐标系，将已知数据代入得到空间数学模型中，即可解得此折叠桌的设计参数及桌脚边缘线的数学描述，可以通过仿真得到折叠桌桌角的动态变化过程。对于问题二，题目要求折叠桌的设计应做到稳固性好、加工方便、用材最少，本文将建立多目标优化模型，研究长方形平板材料制作折叠桌时的设计参数。首先，利用立体几何关系建立折叠桌设计参数；然后，鉴于到折叠桌这种艺术品实际使用过程中不会承受较大重物，因而只考虑折叠桌本身重力对其稳定性的影响，并且根据折叠桌材料选取适当的地面摩擦系数建立稳定性方程；最后，在稳定的基础上从加工方便及耗材最少的角度出发，建立优化设计的模型，确定最优解。对于问题三，为了满足客户需求，本文将原先的圆形桌面推广成任意形状（只要关于x轴对称）的桌面，结合第二问中的目标函数及约束建立数学模型，用范数描述实际桌脚边缘线与用户需求的桌脚边缘线相近的相近程度。然后，以此模型为背景，设计几种构造合理、实用价值相对较高的折叠桌，并利用一、二问的结果求出设计参数并画出动态特性图。平板折叠桌通过最边缘的两根位置固定的钢筋和具有滑槽可运动的木条组成，本文通过建立数学模型，分析其折叠过程中的动态变化过程，从设计加工参数着手，建立多4目标优化模型，旨在设计出符合客户需求，产品稳定性好，加工方便，用材最少的平板折叠桌。三、模型假设1、桌面圆与每根木条的始端相交于木条宽度的中心位置；2、为了不改变产品的美观，设计折叠桌时木条宽度保持不变；3、折叠桌板在平置时不会因桌面设计产生中空部分；4、木条间缝隙尺寸为零；5、木条与圆桌面之间的交接处间隙很小，可忽略不记；6、材料均匀，木条在加工过程中不会变形或折断；7、实际加工误差对设计影响很小，可忽略不记；8、不计钢筋尺寸；9、钢筋每次运动到最大滑槽的极限位置，且折叠桌缓慢放置于地面之上；10、折叠桌桌面设计要满足桌面关于x轴对称。四、符号说明序号符号L说明123456木板的长度桌面圆半径木板的厚度木板的宽度木板的高度木条的宽度RDBHWlii1,2,...,Nii1,2,...,Nend78木条i的长度（i1时表示桌腿）木条i移动过程中与桌面的夹角最终位置时桌腿与桌面的夹角桌面圆内与木条i连接部分的位置9bi(x,y)i1,2,...,Nxi(yi,zi)101112木条i在末端坐标系内的坐标钢筋在Oxyz坐标系内的坐标dxdy,dz5五、模型的建立与求解5.1圆面折叠桌的动态描述在本问中，为了充分描述创意平板折叠桌的动态变化过程，首先要确定静态折叠桌各个参量的数学表达式，然后从折叠过程中运动的每根木条入手，假定折叠桌腿以匀角速运动，根据木条与桌腿之间的运动关系得出木条运动角速度以及角加速度，同时，钢筋在木条内部运动，通过求解其在不同木条中的始末位置求解滑槽长度，最后确定木条末端的运动过程中的位置，确定桌角边缘线的形状及变化过程。5.1.1圆面折叠桌的离散型动态描述初始状态时，折叠桌处于平放位置，在上面建立坐标系，并表达出各个参量的位置如下图所示，其中z轴垂直于xoy平面向内：图1折叠桌示意图根据示意图，可以表示出木条i的长度为：li1LR(R(i1)W)(i1,2,,BarNumber)12222其中当木条运动到末态位置，滑槽与钢筋卡紧时，桌腿与桌面的夹角为：endarcsin(HD)2l16图2末态位置桌腿位置示意图运动过程中，桌面圆内与木条i连接部位到yoz平面的长度不变，根据假设桌面圆相交于桌腿的中心位置为，可以确定木条i连接部位到yoz平面的长度：bix1LliR(R(i1)W)(i1,2,BarNumber)342222在图示Oxyz坐标系内，桌面圆内与木条i连接部分y坐标可以用下式表示：biy(BarNumberi1)Wi(i1,2,,BarNumber)22桌腿运动过程中，设钢筋位置固接在桌腿的位置到桌边的长度与桌腿总长的比值为2RL1，之所以2R1，是因为桌面处于平放位置时，钢筋位置不能穿过桌L面，而桌面立置时，钢筋不能穿过桌面边缘，由此钢筋所在位置可以表示为：dxb1xl1cos1dzl1sin1(01end)(01end)56木条运动过程中，滑槽时刻与钢筋保持接触，利用几何关系可以确定每根木条与桌面的夹角为：dziarctan(i1,2,,BarNumber)78dxbix将式（5）和式（6）带入式(7)得：l1sin1l1cos1b1xbixiarctan(i1,2,,BarNumber)7假设桌腿匀角速度运动，即1t，每根木条运动的角速度可以表示为：i(t)dil22l1b1xbixcost1dtl1costb1xbix92l1sint2同样，每根木条运动的角加速度可以表示为：3ll1b1xbixsintb1xbix2221i(t)ddti210l1costb1xbix2l1sint22在每根木条的运动状态确定之后，钢筋在木条内部的运动也可以随相对位置而确定，钢筋与每根木条接触的位置到桌面圆边缘的距离可以用下式表示：di()(Lsin)2b1xbixLcos22L(b1xbix)cos(0end)11di()(b1xbix)2L220end从整理后的公式可以分析得出，钢筋在没根木条滑槽内部的位置仅与cos的大小有关，而cos在0end范围内逐渐减小，因而di()在对应区间内单调递增。即随着桌腿的移动，钢筋在每根木条中的位置逐渐向木条末端（背离桌面的方向）延伸，能够延伸的距离即为木条内部开槽长度，为：Dcaoidienddi(0)12为了确定桌角边缘线的形状及变化过程，本文将每根木条的末端坐标如下：xibixlicosi2ybiy(i1)WiN13i22zilisin25.1.2圆面折叠桌的连续型动态描述模型为了形象的描述木条运动过程中桌角边缘线的形状及变化过程，由离散型动态描述，本文利用每个时刻木条末端坐标来描绘边角线时，末端坐标离散，绘制曲线不连续，尽管可以通过插值拟合的方式把所有末端坐标用以连续曲线绘出，但是此曲线只是为了近似而近似，不具有明确的物理含义。为了更准确地描绘边