2013-2014学年广东省揭阳一中高三(上)开学数学试卷(理科)

2013-2014学年广东省揭阳一中高三（上）开学数学试卷（理科）1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，0，2}解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={}⊆A，=1或=﹣1⇒a=﹣2或2，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}．故选D．点评：本题考查集合的包含关系及应用．注意空集的讨论，是易错点．2．（5分）（2009•广东）设z是复数，a（z）表示zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8B．6C．4D．2分析：复数zn=1，要使in=1，显然n是4的倍数，则a（i）=4．解答：解：a（i）=in=1，则最小正整数n为4．故选C．点评：本题实际考查，复数i的n次幂的运算，是基础题目．3．（5分）（2009•福建）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．2350853专题：压轴题；图表型．分析：解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．解答：解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选C．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．4．（5分）（2009•陕西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：椭圆的应用．2350853专题：常规题型．分析：将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．解答：解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．点评：本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log9f（3）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．2350853专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先求出幂函数的解析式，进而可计算出．解答：解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），由题意得=（）α，解得α=，∴f（x）=．∴log9f（3）=log9=．故选A．．点评：正确理解幂函数的定义和对数的运算法则是解题的关键．6．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16考点：循环结构．2350853专题：计算题．分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：第1次判断后S=1，K=1，第2次判断后S=2，K=2，第3次判断后S=8，K=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．7．（5分）已知函数y=sinx﹣cosx，则下列结论正确的是（）A．此函数的图象关于直线x=对称B．此函数在区间（﹣，）上是增函数C．此函数的最大值为1D．此函数的最小正周期为π考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．2350853专题：三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用正弦函数的性质即可做出判断．解答：解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），A、令x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则此函数的图象关于直线x=﹣对称，本选项错误；B、令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，则此函数在区间（﹣，）上是增函数，本选项正确；C、函数最大值为，本选项错误；D、函数的最小正周期为2π，本选项错误，故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]考点：函数最值的应用．2350853专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．解答：解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]点评：本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．二、填空题（30分）必做题：9-13题；选做题（选做一题）：14-15题9．（5分）函数y=+的定义域是1．考点：函数的定义域及其求法．2350853专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要求函数y=+的定义域只需列出各个表达式有意义的不等式组，去即可．解答：解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，3）∪（3，4）故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，3）∪（3，4）点评：本题考查函数定义域的求法，考查计算能力．10．（5分）（2013•锦州二模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是﹣15．考点：简单线性规划．2350853专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件，的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=2x+4y中，求出z=2x+4y的最小值解答：解：根据约束条件画出可行域，由图得当z=2x+4y过点A（﹣，﹣）时，z=2x+4y取最小值﹣15．故答案为：﹣15．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．11．（5分）若（﹣）n展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为24．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．2350853专题：计算题．分析：根据所有二项式系数之和为16，可得2n=16，n=4．再展开式的通项公式为Tr+1=（﹣2）r••x2﹣r，令x的幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项．解答：解：根据（﹣）n展开式中所有二项式系数之和为16，可得2n=16，n=4，故展开式的通项公式为Tr+1=••（﹣2）r•=（﹣2）r••x2﹣r，令2﹣r=0，r=2，故展开式的常数项为4×6=24，故答案为24．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（5分）（2012•东莞二模）若双曲线=1的渐近线与方程为（x﹣2）2+y2=3的圆相切，则此双曲线的离心率为2．考点：双曲线的简单性质．2350853专题：计算题．分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．解答：解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切∴圆心到渐近线的距离为=，求得b2=3a2，∴c2=a2+b2=4a2，∴e==2故答案为2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．13．（5分）（2012•姜堰市模拟）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5若存在两项am、an使得，则的最小值为．考点：等比数列的性质；基本不等式．2350853专题：计算题；压轴题．分析：由已知中正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，我们易求出数列的公比，再结合存在两项am、an使得，我们可以求出正整数m，n的和，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．解答：解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a7=a6+2a5，则a1•q6=a1•q5+2a1•q4即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去）若，则m+n=6则6（）=（m+n）（）=5+（）≥5+4=9则故答案为点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5若存在两项am、an使得，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键．14．（5分）（几何证明选讲）已知AB是圆O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交点O于点C，若AP=6，PB=3，则PC的长为3．考点：与圆有关的比例线段．2350853专题：计算题；直线与圆．分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解．解答：解：∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C由相交弦定理可得：AP×PB=PC2，∵AP=6，PB=3，∴PC2=18，解得PC=3．故答案为：3．点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（2，），（4，）．则△ABO（其中O为极点）的面积为2．考点：极坐标系和平面直角坐标的区别；三角形的面积公式．2350853专题：计算题．分析：由题意可得|OA|=2，|OB|=4，∠AOB=，再根据△ABO的面积为|OA|•|OB|•sin∠AOB，运算求得结果．解答：解：由题意可得|OA|=2，|OB|=4，∠AOB=﹣=，则△ABO（其中O为极点）的面积为|OA|•|OB|•sin∠AOB=×sin=2，故答案为2．点评：本题主要考查点的极坐标的定义，三角形的面积的求法，属于基础题．三、解答题（80分）16．（12分）已知向量=（Asin，Acos），=（cos，sin）函数f（x）=•（A＞0，x∈R），且f（2π）=2．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β+）=﹣，求cos（α+β）的值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．2350853专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；（2）利用诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式即可得出．解答：解：（1）依题意得f（x）==A，∵f（2π）=2，∴，∴，解得A=4．∴f（x）=．（2）由，得，即，∴又∵，∴sinα==，由，得，即．∴，又∵，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=．点评：熟练掌握向量的数量积运算和两角和的正弦公式、诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式是解题的关键．17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次性购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次