2013-2014学年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算知能演练理(含解析)新人教A版选修2-1

12013-2014学年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算知能演练理（含解析）新人教A版选修2-11．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC、BD、PB、PC、PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC→与BD→B.DA→与PB→C.PD→与AB→D.PA→与CD→解析：选A.由图分析可知(图略)，选项B、C、D中两向量的夹角均为90°，∴数量积都为0.2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能解析：选B.因为m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选B.∵DB→＋DC→－2DA→＝(DB→－DA→)＋(DC→－DA→)＝AB→＋AC→，∴(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝|AB→|2－|AC→|2＝0，∴|AB→|＝|AC→|.4．已知向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉等于()A.12B.22C．－12D．0解析：选D.OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→||OC→|cos〈OA→，OC→〉－|OA→||OB→|cos〈OA→，OB→〉＝|OA→||OC→|cosπ3－|OA→||OB→|cosπ3＝0，∴cos〈OA→，BC→〉＝0.26．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－27．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD′→·BC′→＝__________.解析：由正方体知BC′∥AD′，∴〈AD′→，BC′→〉＝0，又|AD′→|＝|BC′→|＝2，所以AD′→·BC′→＝2·2·1＝2.答案：28．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则A1B→·B1C→＝__________解析：连接向量A1D→，A1B→·B1C→＝A1B→·A1D→＝|A1B→|·|A1D→|·cos〈A1B→，A1D→〉＝2a×2a×cos60°＝a2.答案：a29．已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)OA→·OB→；(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)；(3)|OA→＋OB→＋OC→|.解：(1)OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12.(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(OA→＋OB→)·(OA→－OC→＋OB→－OC→)＝(OA→＋OB→)·(OA→＋OB→－2OC→)＝12＋1×1×cos60°－2×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(3)|OA→＋OB→＋OC→|＝OA→＋OB→＋OC→2＝12＋12＋12＋＝6.10.如图，空间四边形ABCD中，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AC＝2，BD＝1，求直线AC与BD的夹角．3解：∵AC→＝AB→＋BD→＋DC→，∴AC→·BD→＝(AB→＋BD→＋DC→)·BD→＝AB→·BD→＋BD→2＋DC→·BD→.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB→·BD→＝0，DC→·BD→＝0.故AC→·BD→＝BD→2＝|BD→|2＝1.于是cos〈AC→，BD→〉＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝12×1＝12.又∵〈AC→，BD→〉∈[0，π]，∴〈AC→，BD→〉＝π3.故直线AC与BD的夹角为π3.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1→＋AD→＋AB→)2＝3AB→2；②A1C→·(A1B1→－A1A→)＝0；③AD1→与A1B→的夹角为60°；④正方体的体积为|AB→·AA1→·AD→|.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B.如图所示，(AA1→＋AD→＋AB→)2＝(AA1→＋A1D1→＋D1C1→)2＝AC1→2＝3AB→2；A1C→·(A1B1→－A1A→)＝A1C→·AB1→＝0；AD1→与A1B→的夹角是D1C→与D1A→夹角的补角，而D1C→与D1A→的夹角为60°，故AD1→与A1B→的夹角为120°；正方体的体积为|AB→||AA1→||AD→|.综上可知，①②正确，故选B.2.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|AB→＋BC→4|＝________，|BC→－EF→|＝________，EF→与AC→所成角为________．解析：|AB→＋BC→|＝|AC→|＝2；EF→＝12BD→，BD→·BC→＝2×2×cos60°＝2，故|BC→－EF→|2＝|BC→－12BD→|2＝BC→2－BC→·BD→＋14BD→2＝4－2＋14×4＝3，故|BC→－EF→|＝3.又因为EF→＝12BD→＝12(AD→－AB→)，故AC→·EF→＝12AC→·(AD→－AB→)＝12(AC→·AD→－AC→·AB→)＝0，因为〈EF→，AC→〉∈[0°，180°]，所以〈EF→，AC→〉＝90°.答案：2390°3.如图，已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.证明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB，∴∠AOC＝∠AOB.∵OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→||OC→|cos∠AOC－|OA→||OB→|cos∠AOB＝0，∴OA→⊥BC→，即OA⊥BC.4．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a.∴CE→·A′D→＝－12c2＋12b2＝0.5∴CE→⊥A′D→，即CE⊥A′D.(2)AC′→＝－a＋c，∴|AC′→|＝2|a|，又|CE→|＝52|a|，AC′→·CE→＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22·52|a|2＝1010.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.