2013-2014汉川一中高三数学四月模拟试题(附答案)

1/10汉川一中2014届高三理科数学周练3一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．在复平面内，复数212izi的共轭复数的虚部为A．25B．25C．25iD．25i2．下列命题正确的是A．存在x0∈R，使得00xe≤的否定是：不存在x0∈R，使得00xe；B．存在x0∈R，使得2010x的否定是：任意x∈R，均有2010xC．若x=3，则x2－2x－3=0的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0.D．若pq为假命题，则命题p与q必一真一假3．若一元二次不等式f(x)0的解集为{x|－2x1}，则f(2x)0的解集为A．{x|x－2或x0}B．{x|x0或x2}C．{x|x0}D．{x|x0}4．将函数y=sin(2x+φ)(0φπ)的图象沿x轴向右平移8个单位后，得到的图象关于y轴对称，则φ的一个可能的值为A．4B．4C．34D．345．已知点M是⊿ABC的重心，若A=60°，3ABAC，则AM的最小值为A．3B．2C．263D．26．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为2/10A．83B．163C．483D．6437．若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是A．[－1，2]B．[1，2]C．[－1，1]D．[－2，2]8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A．425B．825C．1625D．24259．已知F2、F1是双曲线x2a2－y2b2=1(a0，b0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A．3B．3C．2D．210．已知函数f(x)=1axx－2lnx(a∈R)，g(x)=ax，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)g(x0)成立，则实数a的范围为A．[1，+∞)B．(1，+∞)C．[0，+∞)D．(0，+∞)二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11－14题）11.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150)，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在[140，150)内的学生中选取的人数应为________.3/1012.数列{an}满足an=n，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n=5，an=n，x=2的值，则输出的结果v=_______.13．若变量x、y满足约束条件：215218327*xyxyxyx,yN≥≥≥，则z=x+y+3的最小值为______.14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是________；数列{bn}中，第2014个值为1的项的序号是________.（二）选考题（在第15、16两题中任选一题作答）15.（选修4－1：几何证明选讲）已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，若∠ACB=20°，则∠AFD=_______.16.（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则曲线C上点到直线12xtyt(t为参数)距离的最大值为______.4/10三、解答题（本大题共6小题，共75分）17.（本小题满分12分）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C=cosC.（1）求角C；（2）若b=2a，⊿ABC的而积S=32sinA·sinB，求sinA及边c的值。18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N*)，等差数列{bn}中，b2=5，，且公差d=2.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+anbn60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角B－A1C－A的大小为φ，当A1A=AC=2BC=2时，求sinθ·sinφ的值。5/1020.（本小题满分12分）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m个红球与10－m个白球，盒子B中有10－m个红球与m个白球(0m10).（1）分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数；①请写出随机变量ξ的分布列，并证明E(ξ)等于定值；②当m为何时，D(ξ)取到最小值，并求出最小值。（2）在盒子A中不放回地摸取3个球，事件E：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球，事件F：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若概率P(E)=P(F)，求m的值。21.（本小题满分13分）设P是圆x2+y2=4上的任意一点，过P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且满足|DM|=m|PD|(0m1)，当点P在圆上运动时，记M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过曲线C的左焦点F作斜率为22的直线l交曲线C于A、B两点，点Q满足0OAOBOQ，是否存在实数m，使得点Q在曲线C上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。22.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2+ln(x+1).（1）求证：当x∈(0，+∞)时f(x)x恒成立；（2）求证：2221220132015232014ln；（3）求证：11112niinsinncoslnnin.6/10周练3理科数学答案1－5ACDCB6－10DACCD11、0.030，212、12913、1514、3402715、45°16、17、【解】（1）∵cos2C=cosC，∴2cos2C－cosC－1=0即(2cosC+1)(cosC－1)=0，又0Cπ，∴12cosC，∴C=2π3.………6′（2）由余弦定理得：c2=a2+(2a)2－2a·(2a)cos2π3=7a2，∴c=7a又由正弦定理得：sinC=7sinA，∴sinA=2114.………9′∵S=12absinC，∴12absinC=32sinA·sinB，∴232cabsinCsinAsinBsinC，得：c=2sin2π3=62.………12′18、【解】（1）∵an+1=2Sn+1，当n≥2时，an=2Sn－1+1两式相减得：an+1=3an(n≥2)又a2=2a1+1=3=3a1，∴an+1=3an(n∈N*).∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n－1.又b1=b2－d=5－2=3，∴bn=b1+(n－1)d=2n－1.………6′（2）1213nnnabn令221315373213213nnnTnn…………………①则3nT233353731213213nnnn…②①－②得：212312333213nnnTn∴Tn=n×3n60n，即3n60，∵33=27，34=81，∴n的最小正整数为4.………12′19、【证】（1）如右图，作A在A1B上的射影D.∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，7/10∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.又AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.………6′【解】（2）〖法一〗联结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，取A1C的中点E，连AE，DE，∵A1A=AC，A1A⊥BC，∴AE⊥A1C，又AD⊥A1C，∴A1C⊥平面ADE，∴A1C⊥DE，∴∠AED是二面角B－A1C－A的平面角。即∠ACD=θ，∠AED=φ，∴ADsinAC，ADsinAE，∵A1A=AC=2BC=2，∴2217AD，AE=2∴214232777sinsin.………6′〖法二〗由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标，则A(0，3，0)，C(1，0，0)，A1(0，3，2)，∴130AC,,，100BC,,，1132CA,,设平面A1BC的一个法向量为111mx,y,z，平面AA1C的一个法向量为222nx,y,z，则100mBCnCA，∴11110320xxyz取3032m,,，8/10由100nACnCA，得2222230320xyxyz，取330n,,∴32172144mACsinmAC，377211224mncosmn，24217sincos∴327sinsin.………12′20、【解】（1）分布列为：ξ012P10100mm2210100mm10100mm221010121100100mmmmE为定值。………5′21010152510010050mmmmDm，∵1≤m≤9(m∈N*)，∴当m=1或m=9，时，D(ξ)最小，最小值为950.………8′（2）2102910972mmmCPEC，229172mmmCPFC∵P(E)=P(F)，∴10917272mmmm，∴m=5.………12′9/1021、【解】（1）如图设M(x，y)、P(x0，y0)，则由|DM|=m|PD|(0m1)得x=x0，|y|=m|y0|，即001xxyym∵22004xy，∴222144xym即为曲线C的方程。………6′（2）设221cm，则202Fc,l:yxc，由22214422xymyxc得：2222124120mxcxm………8′设A(x1，y1)、B(x2，y2).则122221cxxm，212241221mxxm.∴1212222yyxxc，………9′∵21212222222121ccmOQOAOBxx,yy,mm即Q点坐标为2222222121ccm,mm，将Q点代入222144xym，得22m.∴存在当22m时，Q点在曲线C上。………13′22、【解】（1）设g(x)=x－f(x)=x－x2－ln(x+1).则2121211xxgxxxx10/10当x0时，g′(x)0，∴g(x)在(0，+∞)上递减，∴g(x)g(0)=0，即xf(x)恒成立。………5′（2）由（1）知，x0时，x－x2l