2013-2014高中数学第二章概率章末质量评估北师大版选修2-4

1章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%.则这种产品的一级品率为()．A．15%B．19%C．20%D．21%解析A＝“产品为合格品”，B＝“产品为一级品”，P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.答案B2．设实数x∈R，记随机变量ξ＝1，x∈，＋，0，x＝0，－1，x∈－∞，则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为()．A．1B．0C．－1D．1或0解析解1x≥1得其解集为{}x|0＜x≤1，∴ξ＝1.答案A3．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为23，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是()．A.881B.3281C.827D.2627解析设正面朝上X次，则X～B4，23，P(X＝3)＝C34233131＝3281.答案B4．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝3，Dξ＝1.5，则p(1≤ξ≤6)等于()．A.3132B.15162C.6364D.7681解析由题意知np＝3且np(1－p)＝1.5，∴p＝12，n＝6，∴p(1≤ξ≤6)＝1－p(ξ＝0)＝1－C06126＝3132.答案A5．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)＝()．A．(1－α)(1－β)B．1－(α＋β)C．1－α(1－β)D．1－β(1－α)解析设随机变量η＝－1ξ＜x1，0x1≤ξ≤x2，1ξ＞x2则P(η＝－1)＝P(ξ＜x1)＝1－P(ξ≥x1)＝1－(1－α)＝α.P(η＝1)＝P(ξ＞x2)＝1－P(ξ≤x2)＝1－(1－β)＝β.∴P(η＝0)＝P(x1≤ξ≤x2)＝1－(α＋β)．答案B6．若随机变量ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.6，则a－b等于().ξ0123P0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4解析由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②，由①②得，a＝0.3，b＝0.5，所以a－b＝－0.2，故应选C.答案C7．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是()．A．[0.4,1)B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1)解析由题意知，C14P·(1－P)3≤C24P2(1－P)2解得P≥0.4.又0P1，故所求P的取值范围为[0.4,1)．3答案A8．甲做一种游戏一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5(一次游戏得分只能是3分、2分、1分或0分)，其中a、b∈(0,1)，已知甲做游戏一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为()．A.16B.112C.124D.132解析由题意知，甲做游戏得分X的分布列为X0123P1212－a－bba∴EX＝0×12＋1×12－a－b＋2b＋3a＝2a＋b＋12＝1.∴2a＋b＝12，∴ab＝12·2a·b≤12·2a＋b22＝12×142＝132，当且仅当2a＝b且2a＋b＝12，即a＝18，b＝14时等号成立．答案D9．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则EY，DY分别为()．A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析∵X～B(10,0.6)∴EX＝10×0.6＝6，DX＝10×0.6×0.4＝2.4∵X＋Y＝8，∴Y＝8－X.∴EY＝E(－X＋8)＝－EX＋8＝－6＋8＝2.DY＝D(－X＋8)＝DX＝2.4.故选B.4答案B10．已知P(B|A)＝12，P(A)＝35，则P(AB)等于()．A.56B.910C.310D.110解析由条件概率计算公式P(B|A)＝PABPA，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝12×35＝310.故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共30分)11．一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为8081，则该射手一次射击的命中率为________．解析设命中率为p，则1－(1－p)4＝8081，(1－p)4＝181，p＝23.答案2312．设随机变量X的概率分布为X1234P13m1416，则P(|X－3|＝1)＝________.解析13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.答案51213．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．解析至少命中三次，包括命中三次和命中四次，即P＝C34343×14＋C44344＝189256.5答案18925614．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝________.解析由概率分布列的性质，得P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即c1＋c2＋c3＋c4＝1⇒2512c＝1，∴c＝1225.答案122515．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝13，则Dξ的值是________．解析∵a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，∴b＝13，a＋c＝23.由Eξ＝13，∴13＝－a＋c，故a＝16，c＝12，Dξ＝－1－132×16＋0－132×13＋1－132×12＝59.答案5916．已知随机变量X服从正态分布，且方程x2＋2x＋X＝0有实数解的概率为12，若P(X≤2)＝0.8，则P(0≤X≤2)＝________.解析由方程x2＋2x＋X＝0有实数解，得Δ＝4－4X≥0.∴X≤1.即P(X≤1)＝12.∴正态曲线的对称轴为X＝1.∴P(X≤0)＝P(X≥2)＝1－P(X≤2)＝1－0.8＝0.2.∴P(0≤X≤2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－0.2－0.2＝0.6.6答案0.6三、解答题(每小题10分，共40分)17．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(A|B)．解(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得，P(X＝0)＝C34C36＝15，P(X＝1)＝C24C12C36＝35，P(X＝2)＝C14C22C36＝15.∴X的分布列为X012P153515(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝C34C36＝420＝15，∴所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－15＝45.(3)P(B)＝C25C36＝1020＝12，P(AB)＝C14C36＝15，∴P(A|B)＝PABPB＝25.18．在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为14、13，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．(1)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．解(1)设“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.由题意知事件A包括以下两个互斥事件．7①事件B：有2件甲批次产品检验不合格，其概率为P(B)＝C23·142·1－14＝964；②事件C：有3件甲批次产品检验不合格，其概率为P(C)＝143＝164.∴至少有2件甲批次产品不合格的概率为P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝964＋164＝532.(2)设“甲批次产品检验不合格件数恰比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D，则D包含以下三个互斥事件．①事件E：3件甲批次产品都不合格，且2件乙批次产品不合格，其概率为P(E)＝143·C23·132·1－13＝1288；②事件F：2件甲批次产品检验不合格，且1件乙批次产品不合格，其概率为：P(F)＝C231421－14·C13·13·1－132＝116；③事件G：1件甲批次产品不合格，且0件乙批次产品不合格，其概率为P(G)＝C13·14·1－142·1－133＝18.故所求概率为P(D)＝P(E＋F＋G)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝1288＋116＋18＝55288.19．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记X为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为X0123P6125ad24125(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望EX.解事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3，由题意知P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“X＝0”是对立的，所以8该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(X＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知，P(X＝0)＝P(A1]A2]A3])＝15(1－p)(1－q)＝6125P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝45pq＝24125整理得pq＝625，p＋q＝1由pq，可知p＝35，q＝25.(3)由题意知，a＝P(X＝1)＝P(A1A2]A3])＋P(A1A2A3)＋P(A1]A2]A3)＝45×1－35×1－25＋15×35×1－25＋15×1－35×25＝37125，b＝P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－6125－37125－24125＝58125，∴EX＝0×6125＋1×37125＋2×58125＋3×24125＝95.20．某批发市场对某种商品日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如图.日销售量(吨)11.52天数102515(1)计算这50天的日平均销售量；(2)若以频率为概率，其每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和，求X的分布列和数学期望．解(1)日平均销售量为150(1×10＋1.5×25＋2×15)＝1.55(吨)．(2)①销售量为1.5吨的概率P＝2550＝12.设5天中销售量为1.5吨的天数为Y，则Y～B5，12.9∴P(X＝2)＝C25×122×123＝C25×125＝516.②X的所有可能取值为4,5,6,7,8.由题意知：P(X＝4)＝0.22＝0.04，P(X＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，P(X＝7)＝2×0.5×0.3＝0.3，P(X＝8)＝0.32＝0.09.∴X的分布列为X45678P0.040.20.370.30.09∴EX＝4×0.04＋5×0.2＋6×0.37＋7×0.3＋8×0.09＝6.2(千元)．