2014年高三嘉定区数学三模(理)

SP5月第1页2020-1-13上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（理）一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知Cx，且42x，则x____________．2．方程1lg)3lg(xx的解x____________．3．已知集合},082{2ZxxxxA，集合},3|2|{RxxxB，则BA__________．4．函数32cos2xy的单调递减区间是__________________________．5．若函数axxy12的图像关于直线xy对称，则实数a的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________．7．已知、均为锐角，且)sin()cos(，则tan___________．8．已知向量)sin,(cosa（],0[），)1,3(b，则|2|ba的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为sin23cos22yx（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l上两点A、B的极坐标分别为)0,2(、)2,332(，则直线l与圆C的位置关系是____________．10．计算：nnnnnnCCC212421lim____________．11．若函数)(xf是R上的奇函数，)(xg是R上的偶函数，且满足xexgxf)()(，将)2(f、)3(f、)0(g按从小到大的顺序排列为___________________．12．在等差数列}{na中，0na，当2n时，0121nnnaaa，nS为}{na的前n项和，若4612kS，则k__________．13．如图，F为双曲线12222byax（0ab）的右焦点，过F作直线l与圆222byx切于点M，与双曲线交于点P，且M恰为线段PF的中点，则双曲线的渐近线方程是________________________．14．函数)cos()(xxf与函数||1|log|)(2xxg的图像所有交点的横坐标之和为___________．二．选择题（每小题5分，满分20分）15．“122ba”是“1||a，1||b”的……………………………………………………………（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件16．已知随机变量的分布律如下：x012)(xPabc其中a，b，c成等差数列，若的均值34)(E，则的方差)(D等于……………………（）A．91B．31C．95D．9717．已知平面上三条直线012yx，01x，0kyx，如果这三条直线将平面分为六部分，则实数k的个数是……………………………………………………………………………………（）A．4B．3C．2D．118．若1a，设函数4)(xaxfx的零点为m，函数4log)(xxxga的零点为n，则nm11OxyFPM第13题图SP5月第2页2020-1-13的取值范围是……………………………………………………………………………………………（）A．)3,1(B．)5,3(C．),2(D．),1(三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD．（1）求四棱锥ABCDP的体积；（2）求直线PC与平面AMD所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数xAysin（0A，0），]4,0[x的图像，且图像的最高点为)32,3(S；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定32MNP．（1）求A，的值和线段MP的长；（2）设PMN，问为何值时，才能使折线段赛道MNP最长？32Oxy3MSNP48PABCDMSP5月第3页2020-1-1321．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在等比数列}{na中，公比1q，等差数列}{nb满足311ab，24ab，313ab．（1）求数列}{na与}{nb的通项公式；（2）记nnnnabc)1(，求数列}{nc的前n项和nS．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知点)0,2(A，)0,2(B，动点C、D依次满足2||AC，)(21ACABAD．（1）求动点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为54，且直线l与圆122yx相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆的上顶点G作直线m、n，使nm，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．求证：PQ必过y轴上一定点．SP5月第4页2020-1-1323．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数baxaxxg12)(2（0a）在区间]3,2[上的最大值为4，最小值为1，记|)(|)(xgxf．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式)2()(log2fkf成立，求实数k的取值范围；（3）对于任意满足qxxxxxpnn1210（*Nn，3n）的自变量0x，1x，2x，…，nx，如果存在一个常数0M，使得定义在区间],[qp上的一个函数)(xm，Mxmxmxmxmxmxmnn|)()(||)()(||)()(|11201恒成立，则称函数)(xm为区间],[qp上的有界变差函数．试判断函数)(xf是否区间]3,1[上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．SP5月第5页2020-1-13上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i2；2．5；3。}1,0{；4。32,6kk（Zk）；5。2；6．4或8；7。1；8。]4,26[；9。相交；10。2；11．)0(g，)2(f，)3(f；12。12；13。xy2；14。4。二．选择题（每小题5分，满分20分）15．A；16。C；17。B；18。D。三．解答题（本大题满分74分，注：评分标准中解答题的得分按各步给出，非递进累计分）19．（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．……（1分）则)0,0,0(A，)0,0,1(B，)0,1,1(C，)0,1,0(D，…………………………（1分）设aPA，则),0,0(aP，因为M是PC中点，所以2,21,21aM，……（1分）所以2,21,21aAM，)0,1,1(BD，),0,1(aBP．…………（1分）因为AM平面PBD，所以BDAM，BPAM，所以02212a，解得1a．………………………………（1分）所以1PA，四棱锥ABCDP的体积为31．……………（1分）（2）21,21,21AM，)0,1,0(AD，设平面AMD的一个法向量为),,(zyxn，则,0,0yzyx1x，可得)1,0,1(n，……………………（3分）又)1,1,1(CP，设CP与n的夹角为，则36322||||cosCPAMCPAM．……………………（2分）PABCDMxyzSP5月第6页2020-1-13所以，直线PC与平面AMD所成角的大小为36arcsin．………………（1分）20．（1）由题意，32A，设函数xAysin在R上的周期为T，则34T，又2T，所以6，………………（2分）所以xy6sin32，当4x时，3y，故)3,4(M，…………（2分）因为)0,8(P，所以53)84(||22MP．…………（1分）即MP的长为5千米．…………………………（1分）（2）在△MNP中，32MNP，PMN，则30，…………（1分）由正弦定理得，3sin||sin||32sin||MNNPMP，所以sin3310||NP，3sin3310||MN，…………（2分）所以cos23sin213310sin33103sin3310||||NPMN3sin3310，………………（3分）因为30，所以当6时，折线段赛道MNP最长．…………（2分）21．（1）设等比数列}{na的公比为q，等差数列}{nb的公差为d。由已知得，qa32，233qa，db334，db12313，…………（1分）所以，,1233,3332dqdq即,41,12dqdq解得3q或1q（舍去），所以2d。……（3分）所以nna3，12nbn。……（2分）（2）由题意得nnnnnnnabc3)12()1()1(，…………（1分）所以，)12()1()12()1()97()53(121nncccSnnnn)333(2n，……………………（1分）所以，当n为偶数时，232331)31(31nnSnnn；…………（3分）当n为奇数时，272331)31(3)12(11nnnSnnn。…………（3分）SP5月第7页2020-1-1322．（1）解法一：设),(00yxC，),(yxD，则),2(00yxAC，……（1分）又)0,4(AB，),2(yxAD2,3200yx，则,2,2200yyxx……（1分）代入4)2(||20202yxAC，得122yx，…………（1分）即动点D的轨迹方程为122yx．……………………（1分）解法二：设),(yxD，由已知)2,2()0,4(),2(22yxyxABADAC，（2分）由2||AC得44422yx，……（1分）即动点D的轨迹方程为122yx．…………（1分）（2）由题意，直线l的斜率存在．设l的方程为)2(xky，设椭圆的方程为142222ayax（2a），…………（1分）由,14,22222ayaxkxy得0444)4(2422222222aakaxkaxaka。…（1分）由l与圆122yx相切，得11|2|2kk，312k，…………（1分）得0434)3(42222aaxaxa。设),(11yxM，),(22yxN，则32221aaxx．………………（1分）又线段MN中点到y轴的距离54)3(222221aaxx，所以82a．…………（1分）所以所求椭圆的方程为14822yx．…………（1分）（3）由（2）知)2,0(G，设直线m：2kxy，代入椭圆方程得8)2(222kxx，即08)12(22kxxk，………………（1分）解得2222142,218kkkkP．………………（1分）同理，直线n的方程为21xky，242,28222kkkkQ．…………（2分）故直线PQ的方程为2222218312142kkxkkkky，…………（2分）令0