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本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)例6如图,点A的坐标为(0,-4),点B为x轴上一动点,以线段AB为边作正方形ABCD(按逆时针方向标记),正方形ABCD随着点B的运动而相应变动.点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点,设点B的坐标为(t,0),线段OE的长度为m.(1)当t=3时,求点C的坐标;(2)当t>0时,求m与t之间的函数关系式;(3)是否存在t,使点M(-2,2)落在正方形ABCD的边上?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解析:(1)过点C作CF⊥x轴于F则△CFB≌△BOA,得CF=BO=3,FB=OA=4∴点C的坐标为(-1,3)(2)当0<t≤4时,点E为y轴的正半轴与BC边的交点,如图1易证△BOE∽△AOB,得OEOB=OBOA即mt=t4,∴m=14t2当t>4时,点E为y轴的正半轴与CD边的交点,如图2易证△EDA∽△AOB,得DAOB=EAAB而DA=AB,∴AB2=OB·EA即42+t2=t(m+4),∴m=t+16t-4(3)存在当t≤0时∵正方形ABCD位于x轴的下方(含x轴),∴此时不存在当0<t≤4时①若点M在BC边上,有t2=4t+2解得t=2或t=-4(舍去)②若点M在CD边上,有t-24=2-(4-t)t解得t=2或t=4当t>4时①若点M在CD边上,有t+16t-4-24=2t解得t=2(舍去)或t=4(舍去)ABDyCOExABDyCOEx图1ABDyCOEx图2本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网②若点M在AD边上,有2-16t4=2t解得t=12综上所述:存在,符合条件的t的值为2、4、12例7如图,点P是正方形ABCD边AB上一动点(不与点A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE、DF.(1)求证:∠ADP=∠EPB;(2)若正方形ABCD边长为4,点F能否为边BC的中点?如果能,请你求出AP的长;如果不能,请说明理由.(3)当APAB的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由.解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90°,∴∠APD+∠EPB=90°∴∠ADP=∠EPB(2)不能设AP=x(0<x<4)∵∠A=∠PBF=90°,∠ADP=∠FPB∴△ADP∽△BPF,∴ADAP=BPBF,∴4x=4-xBF∴BF=-14x2+x=-14(x-2)2+1∴当x=2(即P为AB中点)时,BF有最大值1∴点F不能为边BC的中点(3)假设△PFD∽△BFP,则PDPF=PBBF∵△ADP∽△BPF,∴PDPF=APBF∴PBBF=APBF,∴PB=AP∴当APAB=12时,△PFD∽△BFP例8如图1,正方形ABCD和正方形AEFG,边AE在边AB上,AB=2AE=4.将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α(0°≤α≤60°).(1)如图2,当∠BEA=120°时,求DG的长;(2)设BE的延长线交直线DG于点P,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°,求旋转过程中点P运动的路线长;(3)在旋转的过程中,是否存在某时刻使得BF=BC,若存在,试求出DP的长;若不存在,请说明理由.APCPFPBPEPDP本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网解析:(1)∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD=AB,AG=AE,∠EAG=∠BAD=90°∴∠DAG=∠BAE=90°-∠EAD∴△DAG≌△BAE,∴∠DGA=∠BEA=120°过点A作AH⊥DG,交DG延长线于H,如图2则∠AGH=60°,∴∠GAH=30°∴GH=12AG=1,AH=32AG=3在Rt△ADH中,AH2+DH2=AD2∴(3)2+(DG+1)2=42解得DG=13-1(舍去负值)(2)由(1)知△DAG≌△BAE,∴∠ADG=∠ABE如图3,∵∠1=∠2,∴∠BPD=∠BAD=90°连接BD,则△BPD是以BD为斜边的直角三角形设BD的中点为O,连接OP,则OP=12BD=22AB=22∴旋转过程中,点P运动的路线是以O为圆心,以OP为半径的一段圆弧如图4,当边AE在边AB上时,P与A重合当∠BAE=60°时,设AB的中点为M,连接ME则AE=AM=BM=12AB,∴△AEM是等边三角形∴∠EMA=60°,∴∠MBE=∠MEB=30°∴∠BEA=90°,∴B、E、F三点共线∴P与F重合连接AF,易知△OFA是等边三角形,∠AOF=60°∴点P运动的路线长为:22×60180π=223π(3)假设存在某时刻使得BF=BC,则BF=BA又EF=EA,则BE=BE,∴△BEF≌△BEA∴∠BEF=∠BEA,∴∠FEP=∠AEP=45°∴P与G重合过点A作AH⊥DG,交DG延长线于H,如图5则∠AGH=45°,AH=GH=22AG=2在Rt△ADH中,AH2+DH2=AD2∴(2)2+(DG+2)2=42解得DG=14-2(舍去负值)CBAEGDF图1CBAEGDF图2CBAD备用图CBAEGO(P)DF图4MCBAEGODF图3P12CBAEGDF图2HCBAEGDF图5(P)H本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网即DP的长为14-2
本文标题:2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)
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