2013中考数学解题方法及提分突破训练面积法专题

1解题方法及提分突破训练：面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。一．真题链接1.（2012济南模拟）圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2.（2012•东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的41，那么点B′的坐标是（）A.(-2,3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2，-3)3．（2012呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm．4.（2012•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=21，AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A.71B.61C.51D.412二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容：（一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的417.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的418.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。4.还可以利用面积解决其它问题。三典题示例（一）怎样证明面积问题1.分解法例1.从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等3③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可由S△CFE＝S△CFB故可得出S△AEF＝S△ABC证明：∵AD//BE//CF∴△ADB和△ADE同底等高∴S△ADB＝S△ADE同理可证：S△ADC＝S△ADF∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF又∵S△CEF＝S△CBF∴S△ABC＝S△AEF∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC2.作平行线法例2.已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h证明：过M作MN//AB∵M为腰BC的中点∴MN是梯形的中位线设梯形的高为h4（二）用面积法解几何问题1.用面积法证线段相等例1.已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。求证：CF=BE。图1证明：连结EC，由BD=DC得，，两式两边分别相加，得故所以BE=CF。注：直接由得更简洁。2.用面积法证两角相等例2.如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：∠AOC=∠BOC。图2证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。因为△ACD、△BCE都是等边三角形，5所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，所以∠ACE=∠DCB所以△ACE≌△DCB所以AE=BD，可得CP=CQ所以OC平分∠AOB即∠AOC=∠BOC3.用面积法证线段不等例3.如图3，在△ABC中，已知ABAC，∠A的平分线交BC于D。求证：BDCD。图3证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F设BC边上的高为h。因为∠BAD=∠DAC所以DE=DF因为且ADAC所以即所以BDCD4.用面积法证线段的和差例4.已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。求证：PE+PF+PD=h。6图4证明：连结PA、PB、PC因为，又所以。因为△ABC是等边三角形所以即PE+PF+PD=h5.用面积法证比例式或等积式例5.如图5，AD是△ABC的角的平分线。求证：。图5证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。因为AD是△ABC的角的平分线，所以DE=DF，则有。过A点作AH⊥BC，垂足为H，则有7即6.用面积比求线段的比例6.如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。求证：。图6证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则，所以。又，所以，所以。四巩固强化1.在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：S△ABE＝S△ADF82.在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，求证：3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：4.已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证：5.在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC和四边形ADGE的面积比。6.（2012•青海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为π-4（结果保留π）．7.（2012•大庆）将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r1和r2．（1）求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值．8.如图平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，AE⊥BD，CF⊥BD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是99.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E分别在AB、AC上，且DE⊥AB，若DE将△ABC分成面积相等的两部分，则CE：AE=10.如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A.6B.8C.10D.12五参考答案【真题链接答案】1.考点：圆柱的计算．分析：圆柱的侧面展开图的面积=圆柱的底面周长×圆柱的高，把相关数值代入即可求解．解答：解：∵圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面周长，∴圆柱的侧面展开图的面积为2π×1=2π．点评：解决本题的关键是得到圆柱侧面展开图的计算公式．2.解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的41，∴位似比为：1：2，∵点B的坐标为（-4，6），∴点B′的坐标是：（-2，3）或（2，-3）．故选D．3.考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体。1444826分析：根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式=（底面周长×母线长）÷2可计算出结果．10解答：解：由题意得底面直径为2，母线长为2，∴几何体的侧面积为×2×2π=2π，故答案为：2π．4.解：（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE；（2）解：方法1：因为S△BEC=S△BCD，S△ACE=S△ABC-S△BEC，S△ABD=S△ABC-S△BCD，所以S△ACE=S△ABD，又由（1）知△ABD∽△ACE，所以对应边之比等于1，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形；方法2：因为△BEC与△BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，即E、D两点到BC的距离相等，所以ED∥BC，所以∠BCE=∠CED，又因为∠BCE=∠CBD，所以∠BCE=∠CBD，由（1）知△ABD∽△ACE，所以∠ABD=∠ACE，所以∠ABC=∠ACB，即△ABC为等腰三角形．5.11【巩固强化答案】1.证明：连结AC，则又∵E、F分别为BC、CD的中点2.证明：过M作MN//DC//AB∵M为腰BC上的中点∴△DCM和△ABM的高相等，设为h1又∵△DMN与△AMN的高也为h112∵MN为梯形的中位线∴3.证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB∴两边同时除以得：4.证明：连结FD、FG、FC则由已知可得①作DM//AB，设它们之间的距离为h，G到DM的距离为a，则由已知可得H、C到DM的距离分别为2a、3a13即②①+②得：5.证明：作DF//AC交BE于F可得△DFG≌△CEG而∴△ABC和四边形ADGE的面积比是12：56.147.8.9.1510.