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用心教育用心成长课程:三角形、全等三角形、特殊三角形、解直角三角形及其应用知识回顾一、三角形的分类:1.三角形按角分为______________,______________,_____________.2.三角形按边分为_______________,__________________.二、三角形的性质:1.三角形中任意两边之和____第三边,两边之差_____第三边2.三角形的内角和为_______,外角与内角的关系:__________________.三、三角形中的主要线段:1.___________________________________叫三角形的中位线.2.中位线的性质:____________________________________________.3.三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。4.角平分线:三角形的角平分线交于一点,这点叫三角形的内心,它到三角形三边的距离,内心也是三角形内切圆的圆心。5.三角形三边的垂直平分线:三角形三边的垂直平分线交于一点,这点叫做三角形的外心,它到三角形三个顶点的距离,外心也是三角形外接圆的圆心。6.三角形的中线、高线、角平分线都是____________.(线段、射线、直线)四、全等三角形:1.全等三角形:_______________________的三角形叫全等三角形.2.三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.3.全等三角形的性质:全等三角形___________,____________.4.全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.5.证明三角形全等的思路:(1)找边(2)找角四、等腰三角形的性质与判定:1.等腰三角形的两底角__________;2.等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合(三线合一);3.有两个角相等的三角形是_________.五、等边三角形的性质与判定:1.等边三角形每个角都等于_______,同样具有“三线合一”的性质;2.三个角相等的三角形是________,三边相等的三角形是_______,一个角等于60°的_______三角形是等边三角形.六、直角三角形的性质与判定:1.直角三角形两锐角________.2.直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________.3.直角三角形中,斜边的中线等于斜边的______.;4.勾股定理:_________________________________________.5.勾股定理的逆定理:_________________________________________________.用心教育用心成长七、锐角三角函数1.sinα,cosα,tanα定义sinα==cosα=_______=tanα==2.特殊角三角函数值八、解直角三角形1.解直角三角形的概念:在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:已知____________;已知___________________.3.如图(1)解直角三角形的公式:(1)三边关系:__________________.(2)角关系:∠A+∠B=_____,(3)边角关系:sinA=___,cosA=_______.tanA=_____,4.如图(2)仰角是____________,俯角是____________.5.如图(3)方向角:OA:_____,OB:_______,OC:_______,OD:________.6.如图(4)坡度:AB的坡度iAB=_______,∠α叫_____,tanα=i=____.课堂例题练习解析(1)三角形与全等三角形1.三角形的两边长分别是3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根,则这个三角形的周长是()A.9B.11C.13D.11或132.若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶6,那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.如图所示,∠A、∠1、∠2的大小关系是()A.∠A∠1∠2B.∠2∠1∠AC.∠A∠2∠1D.∠2∠A∠14.如图,已知∠1=∠2,则不一定...能使△ABD≌△ACD的条件是()A.AB=ACB.BD=CDC.∠B=∠CD.∠BDA=∠CDA30°45°60°sinαcosαtanααabcACB45南北西东60ADCB70OOABCcbaACB用心教育用心成长5.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【】(A)两条边长分别为4,5,它们的夹角为β(B)两个角是β,它们的夹边为4(C)三条边长分别是4,5,5(D)两条边长是5,一个角是β6..如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是()A.4B.3C.2D.17.已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是______(写出一个即可).8.如图,AB∥CD,CP交AB于O,AO=PO,若∠C=50°,则∠A=______.9.如图,在△ABC中,AB=5cm,AC=3cm,BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E,则△ACD的周长为__________cm.10.如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°.有以下四个结论:①AF⊥BC;②△ADG≌△ACF;③O为BC的中点;④AG∶DE=3∶4,其中正确结论的序号是__________.用心教育用心成长11.如图1,l1,l2,l3,l4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AF⊥l3于点F,交l2于点H,过点C作CE⊥l2于点E,交l3于点G.(1)求证:△ADF≌△CBE;(2)求正方形ABCD的面积;(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,试用h1,h2,h3表示正方形ABCD的面积S.用心教育用心成长(2)特殊三角形1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能...是()A.3.5B.4.2C.5.8D.72.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能...是()A.(2,0)B.(4,0)C.(-22,0)D.(3,0)3.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于()A.80°B.70°C.60°D.50°4.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为()A.20B.12C.14D.135.如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为()A.2B.2C.D.36.如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B、C、D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=BCCD;②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为________.用心教育用心成长8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=5cm,则EF=_________cm.9.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为▲度.10.(浙江杭州4分)在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为11.(2011·乐山)如图,已知∠AOB=α,在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1,连接A1B1,在B1A1、B1B上分别取点A2、B2,使B1B2=B1A2,连接A2B2…按此规律下去,记∠A2B1B2=θ1,∠A3B2B3=θ2,…,∠An+1BnBn+1=θn则(1)θ1=_____________;(2)θn=________________.12.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.(1)求证:DE平分∠BDC;(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.13.已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.(1)求证:AB=BC;(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.用心教育用心成长14.如图,△ABC的边BC在直线m上,AC⊥BC,且AC=BC,△DEF的边FE也在直线m上,边DF与边AC重合,且DF=EF.(1)在图1中,请你通过观察、思考,猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)(2)将△DEF沿直线m向左平移到图2的位置时,DE交AC于点G,连结AE、BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.(3)锐角三角函数和解直角三角形1.cos30°=()A.12B.22C.32D.32.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是()A.513B.1213C.512D.1353.如图所示,在数轴上点A所表示的数x的范围是()A.32sin30°xsin60°B.cos30°x32cos45°C.32tan30°xtan45°D.32tan45°xtan60°4.如图4所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()A.12B.55C.1010D.2555.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为()A.12B.34C.32D.45用心教育用心成长6.Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,那么c等于()A.acosA+bsinBB.asinA+bsinBC.asinA+bsinBD.acosA+bsinB7..在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米,则旗杆的高度约为()A.24米B.20米C.16米D.12米8.sin30°的值为________.9.如图,某小岛受到了污染,污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=30°,∠ACD=60°,则直径AD=________米.(结果精确到1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)10.如图,在A岛周围25海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O处时,发现A岛在北偏东60°方向,轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)11.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.用心教育用心成长12.如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证:△ABF∽△DFE;(2)若sin∠DFE=13,求ta
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