2014数列不等式综合训练

[键入文字]2014数列不等式综合训练一．解答题（共30小题）1．（2014•东城区二模）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an=f（an﹣1）（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得am＜100．2．（2014•日照一模）已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若Cn≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．©2010-2014菁优网3．（2013•广州三模）已知函数f（x）=（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn，数列{an}满足：a1=N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列中，仅当n=5时，取最小值，求λ的取值范围；（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）2，数列{cn}满足：c1=，cn+1=g（cn）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜＜2．4．（2012•芜湖二模）已知函数，an+1=f（an），对于任意的n∈N*，都有an+1＜an．（Ⅰ）求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1=，证明an＜1+（n∈N+，n≥2）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明﹣n＜+1．©2010-2014菁优网5．（2011•双流县三模）已知函数（1）求；（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式；（3）求证：a1a2a3…an＞．6．（2014•南充一模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b、c满足的关系式．（2）若c=2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（）=1，求证：＜＜．（3）设bn=﹣，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．©2010-2014菁优网7．（2014•通州区二模）已知f（x）=，数列{an}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列{an}和{bn}的通项公式（2）令，{cn}的前n项和为Tn，证明：对∀n∈N+有1≤Tn＜4．8．（2014•江西模拟）无穷数列{an}的前n项和Sn=npan（n∈N*），并且a1≠a2．（1）求p的值；（2）求{an}的通项公式；（3）作函数f（x）=a2x+a3x2+…+an+1xn，如果S10=45，证明：．©2010-2014菁优网9．（2014•文登市二模）各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，满足=1（n∈N*），且S5+2=a6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：7（an﹣1）2＞3n+1（n∈N*）；（Ⅲ）若n∈N*，令bn=an2，设数列{bn}的前n项和为Tn（n∈N*），试比较与的大小．10．（2014•合肥一模）已知函数fn（x）=x+，（x＞0，n≥1，n∈Z），以点（n，fn（n））为切点作函数y=fn（x）图象的切线ln，记函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）求证：an＜；（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＜．©2010-2014菁优网11．（2013•怀化二模）已知函数．（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a1=4，求证：an≥2n+2；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．12．（2013•潮州二模）设a＞0，函数．（Ⅰ）证明：存在唯一实数，使f（x0）=x0；（Ⅱ）定义数列{xn}：x1=0，xn+1=f（xn），n∈N*．（i）求证：对任意正整数n都有x2n﹣1＜x0＜x2n；（ii）当a=2时，若，证明：对任意m∈N*都有：．©2010-2014菁优网13．（2012•长沙模拟）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；（Ⅱ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅲ）证明：．14．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．©2010-2014菁优网15．（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1．16．（2011•天津）已知数列{an}与{bn}满足：，n∈N*，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设cn=a2n﹣1+a2n+1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列；（Ⅲ）设Sk=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：．©2010-2014菁优网17．（2011•天津）已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）18．（2011•乐山二模）已知点列An（xn，0）满足：，其中n∈N，又已知x0=﹣1，x1=1，a＞1．（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；（2）已知点B，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：．©2010-2014菁优网19．（2011•重庆三模）过曲线上的一点Q0（0，2）作曲线的切线，交x轴于点P1，过P1作垂直于x轴的直线交曲线于Q1，过Q1作曲线的切线，交x轴于点P2；过P2作垂直于x轴的直线交曲线于Q2，过Q2作曲线的切线，交x轴于点P3；…如此继续下去得到点列：P1，P2，P3，…Pn，…，设Pn的横坐标为xn（n∈N*）（I）试用n表示xn；（II）证明：；（III）证明：．20．（2011•双峰县模拟）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1（k为正整数），其中a1=16．设正整数数列{bn}满足：，当n≥2时，有．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项；（Ⅲ）记，证明：对任意n∈N*，．©2010-2014菁优网21．（2011•新余二模）已知在数列{an}中，，Sn是其前n项和，且Sn=n2an﹣n（n﹣1）．（1）证明：数列是等差数列；（2）令bn=（n+1）（1﹣an），记数列{bn}的前n项和为Tn．①求证：当n≥2时，；②）求证：当n≥2时，．22．（2010•永州一模）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）在直线2x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．（Ⅲ）求证：．©2010-2014菁优网23．（2010•河西区三模）设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn=an2+n，an＞0（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{an}的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）设x＞0，y＞0，且x+y=1，证明：≤．24．（2010•宣武区一模）数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，点（Sn，Sn+1）在直线（n∈N*）上．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）设，求证：．©2010-2014菁优网25．（2010•宿松县三模）若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=﹣1，bn+1=bn+（2n﹣1），且，求数列{cn}的通项及其前n项和Tn．（3）求证：Tn•Tn+2＜Tn+12．26．（2010•沅江市模拟）已知数列{an}中，a1=1，且an=an﹣1+2n•3n﹣2（n≥2，n∈N∗）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=（n∈N∗），数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2与n的大小；（3）令cn=（n∈N*），数列{}的前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有Tn＜2．©2010-2014菁优网27．（2010•广州二模）已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）证明：．28．（2010•江西模拟）已知数列{an}，且是函数f（x）=an﹣1x3﹣3[（t+1）an﹣an+1]x+1（n≥2）的一个极值点．数列{an}中a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，当t=2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值；（3）若，证明：．©2010-2014菁优网29．（2010•重庆三模）已知函数f（x）=x2﹣x+1，数列{an}满足：a1=2，an+1=f（an），其中n∈N*．（Ⅰ）证明：1＜an＜an+1；（Ⅱ）证明：．30．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，an+2SnSn﹣1=0（n≥2）．（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求Sn和an；（3）求证：．©2010-2014菁优网2014数列不等式综合训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014•东城区二模）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an=f（an﹣1）（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得am＜100．考点：数列的应用．菁优网版权所有专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用新定义，可求f（99），f（2014）；（Ⅱ）假设a1是一个n位数（n≥3），设出a1，由a2=f（a1）可得，．作差，即可得证；（Ⅲ）利用反证法进行证明即可．解答：（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21．…（5分）（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），那么可以设，其中0≤bi≤9且bi∈N（1≤i≤n），且bn≠0．由a2=f（a1）可得，．=，所以．因为bn≠0，所以（10n﹣1﹣bn）bn≥99．而（b1﹣1）b1≤72，所以a1﹣a2＞0，即a1＞a2．…（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知当a1≥100时，a1＞a2．同理当an≥100时，an＞an+1．若不存在m∈N*，使得am＜100．则对任意的n∈N*，有an≥100，总有an＞an+1．则an≤an﹣1﹣1，可得an≤a1﹣（n﹣1）．取n=a1，则an≤1，与an≥100矛盾．©2010-2014菁优网存在m∈N*，使得am＜100．…（14分）点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．2．（2014•日照一模）已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若Cn≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．考点：等差关系的确定；函数恒成立问题；数列的求和．菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1