2013四川省资中中考数学压轴题

菁优网菁优网©2010-2013菁优网（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．2893581专题：探究型．分析：（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC；（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故=，进而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知=，由于==，所以=，=，再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线．解答：（1）解：BD=DC．连接AD，如图1，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴BD=DE，∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，菁优网©2010-2013菁优网∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）证明：证法一：∵设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°∴OP⊥AB在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴CP是⊙O的切线．证法二：过点C作CH⊥AB于点H，如图2，则∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴CH=AC，又∵PO=AB=AC，∴PO=CH，菁优网©2010-2013菁优网∴四边形CHOP是平行四边形∵CH⊥AB，∴四边形CHOP是矩形，又∵点P在圆O上，∴∠OPC=90°，即OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线．点评：本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直．菁优网©2010-2013菁优网