2014级高等代数一试卷A

第A1页共6页考试方式：闭卷太原理工大学高等代数试卷A卷适用专业：2014数学各专业考试日期：2015.1.16时间：120分钟共8页.一、（每小题3分，共36分）I.单项选择题（将你认为正确答案填在括号内）1.下列结论正确的是（）.A.初等矩阵的逆矩阵就是本身；B.初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵；C.初等矩阵乘积仍是初等矩阵；D.任何n级矩阵都可以写成初等矩阵的乘积的形式.2.A是n级对称矩阵，B是n级反对称矩阵，则下列矩阵是反对称矩阵的是().A.ABBA；B.ABBA；C.2()AB；D.BAB.3.设,AB为n级方阵，E为n级单位阵，则以下命题中正确的是（）A.222()2ABAABB；B.22()()ABABAB；C.222()ABAB；D.2()()AEAEAE.4．设A为矩阵，123,,ηηη是非齐次方程组Axb的3个线性无关的解，则下列说法不正确的是（）（A）123ηηη是非齐次方程组3Axb的解；（B）122331,,,ηηηηηη是齐次方程组0Ax的一个基础解系；（C）2131,ηηηη是齐次方程组0Ax的一个基础解系；（D）矩阵A的秩()1rA.5.设,AB均非零矩阵，满足0AB，则,AB必有（）A.()0rA或()0rB；B.()rAn或()rBn；C.()rAn或()rBn；D.()rAn且()rBn.6.下列行列式中不一定等于12nλλλ的是（）（A）112122000nnnλaaλaλ；（B）1222000nnnnnλλaλaa；题号一二三四总分得分得分评卷人学院系专业班级姓名学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………第A2页共6页（C）121212000nnnλaλaaλ；（D）12100000000000000nnλλλλ.II.填空题7.多项式()fx满足(1)3,(2)4ff，则(1)(2)xx除()fx的余式为.8.一个无解的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，则增广矩阵的秩为.9.方程2311111220144188xxx的根为.10.,AB分别为,nm级非退化方阵，则00AB与00AB的比值为.11.设A是数域P上的n级矩阵，*A是A的伴随矩阵，若*A的秩*()1rA，则A的秩()rA.12.设n级矩阵111111111aaAa(2n)，若A退化且它的秩()1rA，则a.得分评卷人二、（共24分）（13）(本题7分)设()fx与()gx是数域P上的多项式,且((),())1fxgx，证明(()(),()())1fxgxfxgx.（14）(本题7分)设多项式5432()41024fxxxxxx第A3页共6页（1）求()fx全部有理根，并写出()fx在有理数域上的标准分解式；（2）在复数域上，写出()fx的标准分解式.（15）(本题10分)求向量组1(1,0,2,1)T，2(1,2,0,1)T，3(2,1,3,0)T，4(1,1,3,1)T的秩及其一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量.得分评卷人三、（共22分）第A4页共6页（16）（1）(本题6分)计算n级行列式11111111111111111aaDaa（2）(本题6分)已知行列式1012110311101254D，计算41424344AAAA（17）(本题10分)设1ΛPAP，其中1411P，10Λ02，求2015A.第A5页共6页得分评卷人四、（共18分）（18）(本题10分)线性方程组1234512345234512345132322635433xxxxxxxxxxaxxxxxxxxxb，讨论,ab为何值时方程组无解、有解，在有解求其通解，用基础解系表示通解.第A6页共6页（19）(本题共8分)（1）设,AB是n级方阵且0AB.证明()()rArBn,其中(),()rArB分别表示矩阵,AB的秩；（2）设A为n（2n）级可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，*A、*B分别为A、B的伴随矩阵，计算交换*A的第1列与第2列所得的结果．