2014金融数学(第三章)第八讲资产组合理论

现代金融数学理论与模型浙江大学XXXX系2020/1/141第三章资产组合理论2020/1/142本章前言第一节问题引入第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论第三节存在无风险资产条件下的资产组合理论第四节VaR与C-VaR风险度量下的资产组合理论第五节最优资产组合应用举例练习题狭义的现代组合理论------马科维茨提出的资产组合理论（50年代，从单个投资者考虑问题，局部均衡分析）广义的现代组合理论------马科维茨提出的资产组合理论------马科维茨提出的有效组合决定模型的各种替代理论（60年代开始，其他求解资产有效组合的理论和方法，如指数化模型，简化的有效组合决策模型）和资本市场理论（从整体的资本市场的角度考虑问题，一般的均衡分析，包括：资本资产的价格理论（CAPM,APT），以及证券市场的效率理论(效率市场假设)）例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。涨，涨涨，跌涨跌，涨跌，跌跌涨跌AB组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。本章前言1952年3月HarryMarkowitz在《金融杂志》发表了题为《资产组合的选择》的论文，将数学的方法应用于证券投资组合的研究，探讨了不同类别的、运动方向各异的证券之间的内在相关性，并于1959年出版了《证券组合选择》一书，详细论述了证券组合的基本原理，从而为现代西方证券投资理论奠定了基础。分散原理是资产组合理论的核心思想。一般说来，对于投资活动投资者最关注的问题是预期收益和预期风险的关系。而收益往往与风险呈正相关性，即高收益会伴有高风险。投资者的主要意图是建立起一个有效组合，从市场上为数众多的证券中，选择若干股票结合起来，以求得固定风险的水平上收益最高，或固定收益的水平上风险最小。2020/1/145本章前言本章主要介绍Markowitz的资产组合理论，并且主要内容就是Markowitz提出的均值-方差准则下的资产组合理论。在第四节中我们也简单介绍了在VaR与C-VaR风险度量下的资产组合理论。2020/1/146第一节问题引入本节介绍评价资产的收益与风险的最简单方法，并特别针对资产组合，通过调整组合在各项资产上的权重比例，分析组合收益与风险的变动，从而引入Markowitz均值-方差理论。2020/1/147第一节问题引入3.1.1单一资产的收益与风险在评价一个资产的时候投资者往往需要关注该资产在将来的收益，实践中经常用收益率来表示一项资产的收益情况，即该资产在一段时期内的收益额相对于其期初价格的比例：2020/1/148第一节问题引入其中与分别表示该资产期初与期末的价格，d表示这段时间内资产的红利收益。即在这段时期中该资产的收益包括价差收益与红利收益。当然从上面的定义可以看出收益率并不一定是正数，当价格的下跌量超过红利收益时收益率可以是负值的。并且由于资产市场价格的波动性，资产期末价格在期初看来是一个未知的变量，并且是一个随机的变量，所以资产的收益率也是随机变动的。对于随机的收益率用如下符号表示：。2020/1/149第一节问题引入由于资产收益率的随机性，为了评价资产收益情况如何，经常需要用它的预期值来表示收益情况，即用期望收益率来表示资产的收益情况。当然，投资者在考虑选择资产时不但要考虑资产的收益情况，还要关注与收益相伴的风险。金融数学中所谓的风险就是由于资产本身波动或市场行情变化等不确定性对投资者造成损失的可能性。对于风险的度量，最简单的办法就是用资产的方差来表示。2020/1/1410第一节问题引入众所周知方差是相对于期望收益率的平均变化程度，即偏离预期收益的距离大小。因此，度量的资产收益不确定性既包括逆向的（价格下跌），也包括正向的（价格上涨）。然而，对于持有资产的投资者来讲只有当价格下跌时才是真正的损失，当资产上涨时虽然也是一种波动性，但这是有利于投资者的波动。但是由于方差在计算上的方便性，很多时候就忽略将正向变动也视为风险的影响。本章第四节介绍的在险价值VaR方法（Value-at-Risk）以及C-VaR方法（ConditionalValue-at-Risk）是一种只将资产逆向变动是为风险度风险度量方法。2020/1/1411第一节问题引入3.1.2资产组合的收益与风险实践中，投资者往往不可能只是对一个资产进行投资，而是对几项资产同时进行投资，构建投资组合。那么一个自然的问题是，上一节定义的关于资产收益与风险的度量从单个资产过渡到资产组合时起了什么样的变化，即资产组合的收益与风险和单个资产的收益与风险有什么样的关系。2020/1/1412第一节问题引入对于两个资产组合情形，假设第一个资产现在的价格为，它在下一个时期总的价值为，包括它下一时刻的价格以及红利收益。同理可以对于第二个资产定义变量与。此外假设投资者投资了单位的第一个资产，以及单位的第二个资产，从而期初总的投资额为，投资组合在期末的总价值为。由上述这些变量的定义，可以计算两个资产分别的收益率分别为：2020/1/1413第一节问题引入以及资产组合的收益率为：2020/1/1414第一节问题引入其中分别表示在总投资额中两种资产投资额所占的比重。(3.1.1)式指出资产组合的投资收益率等于单个资产收益率以其投资额在总投资额中所占比例为权重加权平均得到。不难类似证明，可以将上面两个资产的情形推广到n个资产的情形，即有：2020/1/1415第一节问题引入其中与的定义与上面相同。对于两个资产的情形，根据概率论中关于随机变量和的期望与方差的性质可得：2020/1/1416第一节问题引入从而，当1时，由(3.1.4)式可知，将其与(3.1.3)结合可得与有如下的线性相关性：即风险伴随着收益的变化而线性地变化；2020/1/1417第一节问题引入同理，当时，由(3.1.4)式可知，并且可以得到与呈如下线性相关性：当然，当时，，(3.1.4)式就不能化简成上述线性形式，但是容易知道与服从一个双曲方程。综上所述，与之间的关系可以用下图(3.1.1)定性地表示。2020/1/1418第一节问题引入2020/1/1419第一节问题引入从上图可以看出，当两个资产不是完全线性相关时，通过调整二者的投资比重，可以得到不同的收益率，并且在同样的收益下风险可以比原先资产的风险还小。这就是资产组合的效果，组合的资产可以互相抵消一些相反变动的风险，从而起到降低风险的目的。同样的道当组合中含有多个风险资产时，可以得到类似的结论，并且可以给出上述定性图示的具体方程，这就是后面几节的主要内容。2020/1/1420第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论一、不含无风险资产下的Markowitz资产组合理论。1.提出均值-方差准则的含义，以及该准则所基于的金融经济学基础，并给出本节推导所需要的数学基础。2.给出Markowitz资产组合问题的数学表述，并求解最优化问题。3.创新点在于对最优投资组合的不相关分解，基于这个不相关分解，可以非常简便地理解前沿资产组合的性质与相互关系。2020/1/14213.2.1均值-方差准则本节介绍均值方差准则下的资产组合理论，这是由Markowitz在1952年发展起来的。关于均值方差准则的来源，可以解释为均值方差是随机变量最重要的两个数值特征，并且分别表示资产收益率的平均收益和波动风险，因此用均值和方差来表示平均收益和风险是非常自然的想法。但是可以从更一般的期望效用准则得到均值方差准则的合理性，这也正是Markowitz在诺贝尔经济学奖得主MiltonFriedman否定其博士论文答辩后为均值-方差理论融入主流的一般均衡框架所作的工作。2020/1/1422第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论均值-方差准则指的是投资者在给定方差条件下追求期望收益率最大化，而在给定期望收益率条件下追求收益率方差最小化。本书第二章介绍了VonNeumann-Morgenstern期望效用理论，它给出了投资者选择投资资产的一般准则，即投资者选择资产以使得自己下一期的期望效用最大化。当在某些特殊条件下时，期望效用准则与均值方差准则是一致的。2020/1/1423第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论例如，当个体的效用函数为二次效用时，期望效用准则等价于均值方差准则，因为：其中为个体财富，为期初财富，为投资收益率。则：2020/1/1424第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论产组合理论从上述表达式可以看出，个体的期望效用完全由财富或投资收益的均值和方差决定。并且当固定期望收益率时，收益率的方差越小，期望效用就越大，反之亦成立；当固定方差时，适当的选取参数b可知期望收益率越大，期望效用就越大。所以此时均值-方差准则与期望效用准则是一致的。2020/1/1425第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论再例如，当资产的收益率服从正态分布时，由正态变量的特征可知的任意阶矩都由其一、二阶矩决定，从而期望效用函数也可以用一、二阶矩表示。将在点Taylor展开可以得到：其中为余项2020/1/1426第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论从而期望效用为：而其中，从而此时期望效用也完全由资产收益率的均值方差所决定。2020/1/1427第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论一般的，若不是正态变量时，残差的期望不一定由一、二阶矩所决定，但是从可知，当资产收益率相对于期望收益率偏差较小时，我们可以忽略残差，此时我们有：2020/1/1428第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论并且当假设投资个体为严格风险厌恶个体时，期望效用函数满足。从而当固定期望收益率时，收益率的方差越小，期望效用就越大，反之亦成立；当固定方差时，期望收益率越大，近似地可知期望效用就越大。所以此时均值-方差准则与期望效用准则也是一致的。2020/1/1429第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论3.2.2数学准备为了后面在介绍资产组合理论时读者对于数学推导不至于有障碍，此处将本章之后部分需要用到数学知识做一一的罗列，而不具体地给出证明。更加详细的内容读者可以参考相关的数学专业书籍，本章中只要知道如何应用便可以了。2020/1/1430随机向量线性组合的均值方差：设有随机向量，常数向量且记的均值向量与协方差矩阵为：则对于的任意线性组合，期望方差分别为：2020/1/1431第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论2020/1/1432二次型与线性函数的梯度：本章之后内容在求解最优资产组合时，需要对二次型与线性组合关于向量求梯度，为了推导时形式上的简洁与方便，可以将上述两个函数的梯度写成下述矩阵相乘的形式，其验证是非常简单的事情。2020/1/1433第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论带约束条件非线性规划、凸规划与二次规划问题在数学分析中读者已经知道对于最优化问题局部最优解存在的必要条件是目标函数的梯度为零，充分条件则需要加上对于Hessian矩阵的要求。当存在等式约束条件时，最优化问题可以用Lagrange乘子法解决，即：2020/1/1434第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论1）、对于以下标准的带等式约束条件的优化问题Problem1局部最优解x*的存在性与不带约束最优化问题Problem2局部最优解x*的存在性等价，并且当其中一个问题的局部最优解存在时，两个问题的局部最优解相等。2020/1/1435第二节不存在无风险资产条件下的资产组合理论从而等式约束优化问题Problem1可以通过无约束优化问题Problem2来求解。2）、对于上述等式约束的最优化问题，局部最优解的存在性在一般条件下不能得到保证，而且就算在局部最优解存在的条件下