2015-2016学年湖北省部分重点中学高二下学期期末联考数学试卷(理科)

湖北省部分重点中学2015——2016学年度下学期期末联考高二数学试卷（理科）命题学校：审题教师：考试时间：2016年6月29日上午7:30-9:30试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中x＝0是极值点的函数是()A.||)(xxfB．f(x)＝－x3C．f(x)＝sinx－xD.21)(xxf2．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[-1,0])的最小值是()A.21B．－1C．0D．13.已知曲线1ln222xxy的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为()A．-1B．2C．-1或2D．124．函数24)(xxxf有（）A．极小值41，极大值0B．极小值0，极大值41C．极小值41，极大值0D．极小值0，极大值415．曲线xycos0≤x≤3π2与坐标轴所围图形的面积是()A．2B.52C．3D．6．已知直线y＝kx是曲线xey的切线，则k的值为()A．21B．1eC．1D．e7．函数1)(3xaxxf在x∈(－∞，＋∞)内是减函数，则()A．0aB．0aC．0aD．1a8．已知函数f(x)＝cosx＋e-x＋x2016，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1＝fn′(x)，则f2017(x)＝()A．－sinx＋e-xB．cosx－e-xC．－sinx－e-xD．－cosx＋e-x9.若dxxa1031，dxxb10，dxxc10sin，则cba,,的大小关系为（）A.bcaB.acbC.bacD.abc10.在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n条抛物线至多把平面分成)(nf个部分，则)()1(nfnf（）A.32nB.12nC.23nD.14n11.设xxh1)(，xxgln)(，0ab，)()(agbgM，))()()((21bhahabN，则以下关系一定正确的是（）A.NM2B.NM2C.NMD.NM12.已知定义在),0(上的函数)(xfy满足xxfxf]1)('[)(，且0)1(f．则函数)(xfy的最小值为（）A.e1B.1C.eD.0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为2)(xx（取细棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为a，则细棒的质量为_____________.14．若函数xaxxfcos)(在R上递增，则实数a的取值范围为________．15.已知函数xaaxaaxxf)12(ln)2(21)(2232，1x为其极值点，则实数a=_______.16.已知:(1)313221232221321,,,aaaaaaaaaRaaa则若(2))(32,,,,434232413121242322214321aaaaaaaaaaaaaaaaRaaaa则若即：三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和；四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二．进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为：)(,,,14232131212222121nnnnnaaaaaaaaaaaaMaaaRaaa则若)3,(nNn,则________M三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）极坐标系中，已知曲线cos2:1C，曲线)3cos(2:2C.(1)求1C与2C交点的直角坐标．(2)若曲线)0,(32:3RC分别与1C,2C相交于A,B,求||AB.18.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx222221(t为参数)，曲线C的参数方程为2coscos4yx（为参数）（1）将曲线C的参数方程化为普通方程（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值19.（本题满分12分）已知函数)0)(1()1ln()1ln()(axaxxxf.(1)当1a时,求函数)(xf的单调区间.(2)若)(xf在]0,1(上的最大值为1,求实数a的值.20.（本题满分12分）用数学归纳法证明：当*Nn时,22225443322122)12(2)2()12(nnnn)34)(1(nnn21.（本题满分12分）已知函数23)(3axxxg（1）当a为何值时，x轴为曲线)(xgy的切线（2）求a的范围，使)(xg有极值，并求极大值与极小值的和（3）设2])('31[)(xeaxxgxfx，若函数f(x)在x＝0处取得极小值，求a的取值范围．22.（本题满分12分）在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论。在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好。比如，当|x|很小时，可以用1xy近似替代xey(1)求证：0x时，用1x替代xe的误差小于221x，即：0x时，221|1|xxex;(2)若0x时，用x替代xsin的误差小于3ax，求正数a的最小值.湖北省部分重点中学2015——2016学年度下学期期末联考高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题：ABBACDBCDDDA二、填空题：13.331a14.[－1,1]15.1a16.12n三、解答题：17.解:(1)C1,C2分别化直角坐标方程为03,022222yyxxyxx,联立解得交点为)23,23()0,0(和.…………………………5分(2)由)0,(32cos2R,得)32,1(A,同理得)32,1(B,2||AB………10分18.解：（1）181cos22cos22xy，]4,4[],1,1[cosx曲线C的普通方程为)44(182xxy…………………………6分（2）直线l的普通方程为03yx，曲线C上的点到l的距离为2|6)1(cos2|2|32coscos4|2d，当1cos时，23maxd…………………………12分19.解:(1)函数定义域为(-1,1),1a时,)1)(1(1211111)('2xxxxxxxf由0)('xf,得]12,1(x,由0)('xf,得)1,12[x)(xf的单增区间为]12,1(,单减区间为)1,12[………………………6分(2)当]0,1(x时,0a,0)1)(1(2)('axxxxf,函数)(xf在]0,1(x上单增,1)0()(maxafxf,1a……………………12分20.证明：1．当1n时，左=14322122，右=721=-14，左=右，1n时命题成立．…………2分2．假设当)(*Nkkn时命题成立，即22225443322122)12(2)2()12(kkkk)34)(1(kkk，则当1kn时左＝22225443322122)12(2)2()12(kkkk22)32)(1(2)22)(12(kkkk)34)(1(kkk2)1)(12(4kk2)32)(1(2kk])32(2)1)(12(4)34()[1(2kkkkkk]3)1(4)[11)(1()74)(2)(1()14154)(1(2kkkkkkkkk1kn时命题成立．…………11分由1，2可知，对任意*Nn原命题成立．…………12分21.解：(1)设切点为)0,0x（，则02303303020axxax，解得110ax1a时，x轴为曲线)(xgy的切线．…………3分(2)axxg33)('2当0a时，0)('xg恒成立，函数)(xgy无极值当0a时，由0)('xg，)(xgy在],(a和),[a上单增由0)('xg，)(xgy在],[aa上单减)()(agxg极大，)()(agxg极小，4-)()(极小极大xgxg0a时，函数)(xgy有极值，4-)()(极小极大xgxg…………7分(3)f(x)＝(x2－ax＋a)ex－x2，f′(x)＝x[(x＋2－a)ex－2]＝xexx＋2－2ex－a，x∈R，令f′(x)＝0，则x＝0或x＋2－2ex－a＝0，即x＝0或h(x)＝a，∵h(x)＝x＋2－2ex，在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R.∴存在唯一x0∈R，使得h(x0)＝a，①若x00，当x∈(－∞，0)时，h(x)a，f′(x)0；当x∈(0，x0)时，h(x)a，f′(x)0；∴f(x)在x＝0处取得极大值，这与题设矛盾；②若x0＝0，当x∈(－∞，0)时，h(x)a，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，h(x)a，f(x)0；∴f(x)在x＝0处不取极值，这与题设矛盾；③若x00，当x∈(x0,0)时，h(x)a，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，h(x)a，f′(x)0；∴f(x)在x＝0处取得极小值；综上所述，x00，∴a＝h(x0)h(0)＝0.∴a的取值范围是(－∞，0)．…………12分22.解：（1）设1)(xexfx，1)('xexf单减时，)(,0)(']0,(xfxfx，01,0)0()(0xefxfxx即时，…………2分设2211)(xxexhx，上单增在时，]0,()(,01)('0xhxexhxx0211,0)0()(02xxehxhxx即时，221|1|0xxexx时，…………4分（2）即求使3|sin|0axxxx时，恒成立的最小正数a设上单增在),0[)(,0cos1)(',sin)(xxxxxx0sin,0)0()(,0xxxx时，恒成立只需0sin3axxx……6分设3sin)(axxxxg当axxxgaxxxga6sin)('',3cos1)('612时，06)('',sin0axxxgxxx时，已证，上单减在),0[)('xg上单减在时，),0[)(,0)0(')('0xggxgx3sin,0)0()(,0axxxgxgx即时3|sin|61axxxa时，恒成立…………9分当06cos),2,0(,6cos)('''61000axxaxxga使时，且,0)('''],0[0xgxx时，],0[)(''0xxg在上单增,0)0('')(''],0[0gxgxx时，],0[)('0xxg在上单增,0)0(')('],0[0gxgxx时，],0[)(0xxg在上单增,0)0()(],0(0gxgxx时，即0sin3axxx，这与题意不符……11分综上，所求正数a的最小值为61…………12分