2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第2章圆锥曲线与方程212椭圆的简单几何性质

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1圆锥曲线与方程第二章第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12.1椭圆第二章2.1.2椭圆的简单几何性质第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11.理解椭圆的简单几何性质．2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．难点：椭圆的几何性质的实际应用．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1椭圆的简单几何性质1．观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思维导航第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学1．观察椭圆的图形可以发现，椭圆是______对称图形，也是______对称图形．事实上，在椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中以______、______分别代替______、______，方程不变，∴椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)既关于______对称，又关于______对称，从而关于__________对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的______．中心轴－x－yxyx轴y轴坐标原点中心第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与它的对称轴共有四个交点，即A1、A2和B1、B2，这四个点叫做椭圆的______，线段A1A2叫做椭圆的______，它的长等于______；线段B1B2叫做椭圆的______，它的长等于______.显然，椭圆的两个焦点在它的______上．顶点长轴2a短轴2b长轴第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航2．观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？新知导学3．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的__________．离心率第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．依据椭圆的几何性质填写下表：标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)图形第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)焦点____________________________________焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围____________________________________对称性关于________________对称顶点____________________________轴长轴长__________，短轴长__________性质离心率e＝__________(0e1)F1(－c,0)，F2(c,0)x轴、y轴和原点F1(0，－c)，F2(0，c)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2bca第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-15.离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca则0e1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-16．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如____________、_______、________；一类是与坐标系有关的性质，如______、______．长、短轴长焦距离心率顶点焦点第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．(2015·陕西师大附中期中考试)点(2,3)在椭圆y2a2＋x2b2＝1上，则()A．点(－2,3)不在椭圆上B．点(－2，－3)不在椭圆上C．点(2，－3)在椭圆上D．无法判断点(－2,3)，(－2，－3)，(2，－3)是否在椭圆上[答案]C第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]由方程可知此椭圆关于坐标轴与原点成轴对称与中心对称图形，所以点(2,3)关于坐标轴或原点的对称点均在椭圆上．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A．－1B．1C．5D．－5[答案]B[解析]椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋y25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a2＝5k，b2＝1，c2＝5k－1＝4，∴k＝1.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则椭圆的方程为____________.[答案]x212＋y29＝1[解析]∵椭圆的焦点在x轴上，则设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，P(0，b)．不妨设x轴与椭圆的一个交点为A(a,0)，∴c＝a2－b2，第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1由△PF1F2为正三角形可知：|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，∴a＝2c①又焦点到椭圆上的点的最短距离为a－c，于是a－c＝3②由①②可得：a＝23，c＝3，从而b2＝a2－c2＝9.∴所求椭圆方程为x212＋y29＝1.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解析]将9x2＋y2＝81化为标准方程x232＋y292＝1，∴椭圆长轴在y轴上，其中a＝9，b＝3，c＝62，∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为F1(0，－62)、F2(0,62)，顶点坐标为A1(－3,0)、A2(3,0)、B1(0，－9)、B2(0,9)．离心率为e＝ca＝223.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．根据椭圆的方程研究几何性质第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]把已知方程化成标准方程x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]由椭圆方程讨论其几何性质的步骤：(1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上．(2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知两椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0k9)，下列说法正确的是__________.①有相等的长轴；②有相等的短轴；③有相同的焦点；④有相等的焦距．[答案]④第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]∵c21＝25－9＝16，∴c1＝4.又∵c22＝(25－k)－(9－k)＝16，∴c2＝4，∴c1＝c2.则两椭圆有相等的焦距．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求适合下列条件的椭圆的标准方程．利用椭圆的几何性质求标准方程(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[分析]1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a、b、c.2．(1)中由离心率e＝ca，及a2＝b2＋c2可知椭圆的标准方程中只有一个待定系数，再由过点(3,0)可求之．(2)设短轴端点为A，F为一个焦点，由条件知△OAF为等腰直角三角形，于是a、b、c可求之．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.综上可知椭圆方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c；(3)写出标准方程．第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为__________.[答案]x236＋y29＝1第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12⇒a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[解析]如图，连接BF2.求椭圆的离心率第二章2.12.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点．∴F2B⊥BF1.又∵∠BF2F1＝30°，|F