2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第3章导数及其应用313导数的几何意义

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第三章导数及其应用成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1导数及其应用第三章第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13.1变化率与导数第三章3.1.3导数的几何意义第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11.了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．难点：对导数几何意义的理解．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1导数的几何意义新知导学1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的__________．设P(x0，y0)，Q(xn，yn)，则割线PQ的斜率kn＝__________.数学切线fxn－fx0xn－x0第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的____________，即k＝f′(x0)＝____________________.3．函数的导数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝________________.切线的斜率limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx＋Δx－fxΔx第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个__________，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数__________．常数f′(x)第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的__________，即f′(x0)＝____________.5．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的__________．函数值f′(x)|x＝x0瞬时速度第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交[答案]B[解析]曲线在点(x0，f(x0))的切线斜率为0，切线平行或重合于x轴．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．(2015·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2x＋1D．y＝－2x[答案]B[解析]∵ΔyΔx＝x＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝2x，∴y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]由x＋2y－3＝0知斜率k＝－12，∴f′(x0)＝－120.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线方程为__________.[答案]x＋y－2＝0[解析]y′|x＝1＝f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1，则切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()导数几何意义的理解第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[分析](1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．[答案]A第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)＝f′(xB)C．f′(xA)f′(xB)D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定[答案]A[解析]由y＝f(x)的图象可知，在A，B点处的切线斜率kAkB，根据导数的几何意义有：f′(xA)f′(xB)．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程．求切线方程第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0Δx3＋3x2·Δx＋3x·Δx2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20，故切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x30＝3x20(1－x0)，即2x30－3x20＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－12.故所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋18＝34(x＋12)，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．要正确区分曲线y＝f(x)在．点P处的切线，与过．点P的曲线y＝f(x)的切线．4．f′(x0)0时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)0时，切线的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知曲线方程为y＝x2，求：(1)过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→02Δx·x＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，又点A(2,4)在曲线y＝x2上，∴f′(2)＝4，∴所求切线的斜率k＝4，故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)∵点B(3,5)不在曲线y＝x2上，∴设切点坐标为(x0，x20)，由(1)知f′(x0)＝2x0，∴切线的斜率k＝2x0，切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)，又∵点B(3,5)在切线上，∴5－x20＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或x0＝5.∴切点坐标为(1,1)，(5,25)．故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．[分析]抛物线上到直线y＝4x－5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求P点的坐标．最值问题第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y＝4x－5平行．设P(x0，y0)，则y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→04x＋Δx2－4x2Δx＝limΔx→08x·Δx＋4Δx2Δx＝limΔx→0(8x＋4Δx)＝8x，由8x0＝4y0＝4x20，得x0＝12y0＝1，故所求的点为P12，1.第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值；(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值．第三章3.13.1.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1曲线y＝－x2上的点到直线x－y＋