2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件第3章32第1课时复数的加法和减法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修1-11-2第三章数系的扩充与复数的引入成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2数系的扩充与复数的引入第三章第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-23.2复数的运算第1课时复数的加法和减法第三章第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课前自主预习第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2实数可以进行加、减运算，那么复数可以进行加、减运算吗？怎样计算呢？其结果是怎样一个数呢？下面我们来学习复数的加、减运算.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-21.实数加法的交换律：________结合律：________.2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点________及以原点为起点，________为终点的________相对应，它们之间的对应都是________的关系．答案：1.a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2．Z(a，b)Z(a，b)向量OZ→一一对应第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2一复数的加法1．加法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.2．加法运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i[答案]B[解析]z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2二复数的减法1．相反数已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．2．减法运算法则规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算：(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝__________________.[答案](y－x)＋(5y－5x)i[解析](2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝(2x－3x＋y)＋(3yi＋2yi－2xi－3xi)＝(y－x)＋(5y－5x)i.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2三复数加法与减法的几何意义复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量OZ1→＝(x1，y1)，OZ2→＝(x2，y2)，如图1，且OZ1→和OZ2→不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量OZ→＝OZ1→＋OZ2→，而OZ1→＋OZ2→所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1－z2与向量OZ1→－OZ2→(等于Z2Z1→)对应，这就是复数减法的几何意义．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2注意：1.根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．2．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．3．在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．拓展由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A、B、C所构成的三角形形状是________．[答案]直角三角形[解析]∵|AB→|＝|2i－1|＝5，|AC→|＝|(5＋2i)－1|＝|4＋2i|＝25，|BC→|＝|(5＋2i)－2i|＝|5|＝5.且|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2，∴△ABC为直角三角形．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2四数形结合思想的应用由于复数与向量的对应关系，因此在解决复数的加、减运算及有关复数模的问题时，可通过数形结合的方法解决．由复数模的几何意义可得出如下结论：在复平面内，z1、z2对应的点A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．(1)A，B两点间距离d＝|z1－z2|.(2)四边形OACB为平行四边形．(3)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．(4)若|z1|＝|z2|，则四边形OABC为菱形．(5)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知z1、z2∈C，求证：|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.[解析]如图所示，根据复数加、减法的几何意义，令z1、z2分别对应向量AB→、AD→，第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2则向量AC→、DB→分别对应复数z1＋z2，z1－z2.∵|AB→|－|BC→|≤|AC→|≤|AB→|＋|BC→|，∴|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.又∵|AB→|－|AD→|≤|DB→|≤|AB→|＋|AD→|∴|z1|－|z2|≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.故|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课堂典例探究第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．复数的加、减运算[解析](1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.(2)原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.[方法总结]两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－1＋2i)＋(1－2i)．[解析](1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.(2)原式＝(－1＋1)＋(2－2)i＝0.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2复数加、减法的几何意义已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解题提示](1)先求出AC→对应的复数，进而求出OC→，AD→对应的复数，可求出点C，D对应的复数．(2)根据向量知识求平行四边形ABCD的面积．[解析](1)∵向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i.∴向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2∵AD→＝BC→，∴向量AD→对应的复数为3－i.即AD→＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴x－2＝3，y－1＝－1，解得x＝5，y＝0，∴点D对应的复数为5.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2(2)∵BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB，∴cosB＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝3－25×10＝152＝210.∴sinB＝752＝7210.∴S＝|BA→||BC→|sinB＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD的面积为7.[方法总结]复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)B点对应的复数．[解析](1)∵AO→＝－OA→，∴AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2(2)∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)∵OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2复平面内轨迹的求法已知|z|＝r(r0)，求2z＋3－4i对应的点的轨迹．[解题提示]设2z＋3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，确定x，y的关系式．[解析]令z1＝2z＋3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则2z＝x－3＋(y＋4)i，|2z|＝|x－3＋(y＋4)i|＝2r，∴(x－3)2＋(y＋4)2＝4r2，∴z1对应的点的轨迹是以(3，－4)为圆心，2r为径的圆．第三章3.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[方法总结]求复平面上轨迹方程常有两种方法：一是直接法，通过设z＝x＋yi(x，y∈R)直接寻求x，y之间的关系；二是整体代换法，通过转化变形利用基本轨迹方程代入求解．常见的复数轨迹方程有以下几种：(1)|z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．(2)|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．(3)|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a|z1－z2|)，表示以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆．(4)||z－z1|－|z－z2||＝2a(02a|z1－z2|)，表示以复数z1，z2的对应点为焦点的双曲线．第三章3