2015-2016学年高中数学第一章统计案例11回归分析的基本思想及其初步应用(二)课时作业

-1-第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）课时作业新人教A版选修1-2明目标、知重点1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数函数关系、二次函数关系．2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变换、平方变换等)转化为另外两个变量的线性关系．3．比较不同模型的拟合效果，可以通过残差平方和的大小，相关指数的大小来判断．探究点一非线性回归模型思考1有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．思考2如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．例1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立y与x之间的回归方程．解根据表中数据画出散点图如图所示．-2-由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01画出散点图如图所示．由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：＝0.663＋0.020x，则有＝e0.663＋0.020x.反思与感悟根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．跟踪训练1在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝A错误!未找到引用源。(b0)表示．现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.10yi0.100.141.001.120.230.37xi0.380.430.140.200.47yi1.191.250.590.791.29试求y对x的回归方程．解由题给的公式y＝A错误!未找到引用源。，两边取自然对数，便得lny＝lnA＋bx，与线性回归方程相对照，只要取u＝1x，v＝lny，a＝lnA．就有v＝a＋bu.题给数据经变量置换u＝1x，v＝lny变成如下表所示的数据：ui20.00016.6674.0003.22614.28610.000vi－2.303－1.96600.113－1.470－0.994ui2.6322.3267.1435.0002.128vi0.1740.223－0.528－0.2360.255-3-可得ln＝0.548－0.146x，即＝错误!未找到引用源。e＝e0.548·错误!未找到引用源。≈1.73错误!未找到引用源。，这就是y对x的回归方程．探究点二非线性回归分析思考1对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系？答不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型．思考2对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？答有两种比较方法：(1)计算残差平方和，残差平方和小的模型拟合效果好；(2)计算相关指数R2，R2越接近于1的模型拟合效果越好．例2为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；(3)计算相关指数．解(1)所作散点图如图所示．(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器得：＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115.(3)6.0812.1224.1748.1896.06191.52y612254995190∑ni＝12i＝∑ni＝1(yi－i)2＝4.8161，∑ni＝1(yi－y)2＝24642.8，-4-R2＝1－4.816124642.8≈0.9998，即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.反思与感悟研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差1，2，…，n来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R2来刻画模型拟合的效果．跟踪训练2对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2，1.2)，(3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，丙y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．解对甲模型：残差平方和∑4i＝1(yi－i)2＝0.0109；对乙模型：残差平方和∑4i＝1(yi－i)2＝0.0049；对丙模型：残差平方和∑4i＝1(yi－i)2＝0.0004.显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际．1．散点图在回归分析中的作用是()A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否相关答案D2．变量x与y之间的回归方程表示()A．x与y之间的函数关系B．x与y之间的不确定性关系C．x与y之间的真实关系形式D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合答案D3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为()A．1B．－0.5C．0D．0.5答案C-5-4．非线性回归分析的解题思路是________．答案通过变量置换转化为线性回归分析[呈重点、现规律]非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝ebx＋a①函数y＝ebx＋a的图象：②处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出b，a.(2)对数曲线型y＝blnx＋a①函数y＝blnx＋a的图象：②处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.一、基础过关1．下列说法正确的是()①线性回归方程适用于一切样本和总体；②线性回归方程一般都有时间性；③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．A．①③④B．②③C．①②D．③④答案B2．某地财政收入x与支出y满足回归方程y＝x＋＋e(单位：亿元)，其中＝0.8，＝2，|e|0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()-6-A．10亿B．9亿C．10.5亿D．9.5亿答案C解析代入数据＝10＋e，因为|e|0.5，所以||10.5，故不会超过10.5亿．3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.12D．1答案D4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2B．y＝(12)xC．y＝log2xD．y＝12(x2－1)答案D解析可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差最小的便是拟合程度最高的．5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________．答案0016．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝lny，求得线性回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．答案＝e0.25x－2.58解析∵＝0.25x－2.58，z＝lny，∴＝e0.25x－2.58.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345-7-(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解(1)设所求的线性回归方程为＝x＋，则＝i＝15(xi－x)(yi－y)i＝15(xi－x)2＝1020＝0.5，＝y－x＝0.4.∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．二、能力提升8．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．9．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合答案A解析由于回归直线一定过(x，y)，∴直线l1和l2都过(s，t)点．-8-10．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：∑8i＝1xi＝52，∑8i＝1yi＝228，∑8i＝1x2i＝478，∑8i＝1xiyi＝1849，则y与x的线性回归方程是________．答案＝11.47＋2.62x11．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求y关于x的线性回归方程.解(1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi(百万元)24568yi(百万元)3040605070xiyi60160300300560x＝5；y＝50；∑5i＝1x2i＝145；∑5i＝1xiyi＝1380于是可得＝∑5i＝1xiyi－5xy∑5i＝1x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，＝y－x＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的线性回归方程是＝6.5x＋17.5.12.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；-9-(2)利用(1)