2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件第2章推理与证明211合情推理

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2推理与证明第二章第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题．四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22.1合情推理与演绎推理第二章2.1.1合情推理第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2自主预习学案第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-21.能结合已学过的数学实例和生活中的实例，分析合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理．2．会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．难点：1.能运用合情推理进行简单推理．2．认识合情推理在数学发现中的作用．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2思维导航在以前的数学学习中，我们曾经由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n－2)·180°.这种猜想方法是否具有一般性，这样得出的结论是否一定是正确的？这种方法在认识发现中有何作用？归纳推理第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2新知导学1．归纳推理由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由________到_______、由_______到_______的推理．2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般归纳推理第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2牛刀小试1．下面各列数都依照一定规律排列，在括号内填上适当的数．(1)23，1,112，214，338，()；(2)32,31,16,26，()，()，4,16,2,11.[答案](1)5116(2)821第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析](1)把数的结构统一，23，1，32，94，278，…，会发现后一个数是前一个数的32倍，所以括号中的数是278×32＝8116＝5116.(2)分成两列数，奇数位的数：32,16，()，4,2.偶数位的数：31,26，()，16,11，所以括号中的数依次是8,21.第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22．观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13254，1＋122＋132＋14278，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.[答案]1＋122＋132＋…＋1n2＋1n＋122n＋12n(n∈N*)[解析]不等式的左边是1i2的前n＋1项和，右边的分母是2n，分子是2n＋1，故一般性的结论是1＋122＋132＋…＋1n2＋1n＋122n＋12n(n∈N*)．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2思维导航在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具有性质：“已知n、m∈N*，若n＋m＝2p，则an＋am＝2ap”，作出猜想：“对于等比数列{an}，若n、m∈N*，n＋m＝2p，则am·an＝a”，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？类比推理第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2新知导学3．类比推理由两类对象具有______________和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有__________的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由____________的推理．4．合情推理归纳推理和类比推理都是根据____________，经过______________________，再进行________、________，然后提出________的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．某些类似特征某些已知特征这些特征特殊到特殊已有的事实观察、分析、比较、联想归纳类比猜想第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-25．归纳推理是由部分到______，由具体到______，由特殊到______，从个别事实中概括出__________的思维模式．类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__________之处的一种推理模式．类比推理是由______到______的推理．整体抽象一般一般结论两类不同相同或相似特殊特殊第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2牛刀小试3．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对[答案]B[解析]推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-24．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2014到2016的箭头方向依次为()14→58→912↓↑↓↑↓↑……2→36→710→11A．↓→B．→↓C．↑→D．→↑[答案]D[解析]根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2014÷4＝503余2，故从2014到2016与从2到4的方向一致，故选D．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-25．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________.[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析]第1个等式有1项，从1开始；第2个等式有3项，从2开始；第3个等式有5项，从3开始；第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2典例探究学案第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2观察以下各等式：数与式的归纳sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[分析]观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．[解析]猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34.证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝1－cos2α2＋1＋cos2α＋60°2＋sin2α＋30°－sin30°2＝1＋cos2α＋60°－cos2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(2α＋30°)＝34.所以sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34成立．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]1.归纳推理的一般步骤(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．(3)猜测一般性结论第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22归纳推理的基本逻辑形式是：S1是(或不是或具有性质)P，S2是(或不是或具有性质)P，S3是(或不是或具有性质)P，……Sn是(或不是或具有性质)P.∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22．由已知数、式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2(1)已知1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，…，1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12，计算下列立方和的值：13,13＋23,13＋23＋33,13＋23＋33＋43,13＋23＋33＋43＋53，…试观察其规律，并由此得到猜想：13＋23＋33＋…＋n3＝__________.(2)232＋13＋1，232＋23＋2，232＋33＋3，…，推测猜想ba__________(a、b为正数且ab)．[答案](1)nn＋122(2)bab＋ma＋m(a、b、m均为正数且ab)第二章2.12.1.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析](1)∵13＝1＝12＝[1×1＋12]2，13＋23＝9＝32＝[