2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件第3章圆锥曲线与方程31第2课时椭圆的简单性质

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-1第三章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1圆锥曲线与方程第三章第三章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13.1椭圆第2课时椭圆的简单性质第三章第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课时作业6易混易错辨析5课前自主预习1第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课前自主预习第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1椭圆的简单几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)图形范围_____________________________________性质对称性对称轴：_____________对称中心：_____________－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤ax轴、y轴坐标原点第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)顶点顶点坐标A1________，A2________B1________，B2________长轴______的长为____短轴_____的长为_____顶点坐标：A1________，A2________B1________，B2________长轴______的长为___短轴_____的长为____性质离心率e＝_______∈________其中c＝__________(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)A1A22aB1B22b(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)A1A22aB1B22bca(0,1)a2－b2第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．对椭圆几何性质的四点说明(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置．在a＞b＞0时，方程x2a2＋y2b2＝1表示的椭圆的焦点在x轴上，方程y2a2＋x2b2＝1表示的椭圆焦点在y轴上．(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小，即椭圆x2a2＋y2b2＝1位于四条直线x＝±a，y＝±b围成的矩形内．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，具体影响如下：第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(4)椭圆是轴对称与中心对称图形，具体如下：第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示，即a，b，c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．椭圆上两个重要的三角形(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.5．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨论．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1预习效果检测第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为()A．x236＋y216＝1B．x216＋y236＝1C．x26＋y24＝1D．y26＋x24＝1[答案]A[解析]由题意得c＝25，a＋b＝10，∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为x236＋y216＝1.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A．13B．12C．33D．22[答案]D[解析]由椭圆方程知a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝16－8＝8∴a＝4，c＝22，∴e＝ca＝22.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋y29＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝19，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9[答案]D[解析]∵椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，∴a2＝25，b2＝9.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－23，0)且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为________________．[答案]x216＋y24＝1[解析]由条件可得a＝2b，c＝23.又∵b2＋c2＝a2，∴b2＋12＝4b2，∴b＝2，∴a＝4.∴方程为x216＋y24＝1.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-15．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．[答案]x236＋y29＝1[解析]由题设，知2a＝12，ca＝32，∴a＝6，c＝33，∴b＝3.∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课堂典例讲练第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1椭圆的主要几何量已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[分析]把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a，b，c即可求出所需答案．[解析]椭圆的方程可化为：x2m＋y2mm＋3＝1.∵m－mm＋3＝mm＋2m＋30，∴mmm＋3.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋2m＋3.由e＝32得m＋2m＋3＝32，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋y214＝1.∴a＝1，b＝12，c＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1－32，0，F232，0.四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标，顶点坐标和离心率．[解析]把椭圆的方程化为标准方程x29＋y24＝1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2，又得半焦距c＝a2－b2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)，离心率e＝ca＝53.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标和顶点坐标等．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1由椭圆性质求椭圆方程求满足条件的椭圆的标准方程．短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.[解析]由已知a＝2ca－c＝3，∴a＝23c＝3.从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.[总结反思]在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程确定a，B．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1离心率为35，长轴长为10的椭圆的标准方程为()A．x225＋y216＝1B．x225＋y216＝1或y225＋x216＝1C．x2100＋y264＝1D．x2100＋y264＝1或y2100＋x264＝1[答案]B第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]由题意得2a＝10，a＝5，ca＝35，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，由于焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1；或y225＋x216＝1.故选B．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1离心率问题设P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求椭圆的离心率的取值范围．[解析]解法一：如下图，点P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，①第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1在△F1PF2中，由余弦定理得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|PF2|＝12.即|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝|PF1||PF2|.由①得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，所以|PF1|·|PF2|＝43b2②.由①和②根据基本不等式，得|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22.即43b2≤a2，又b2＝a2－c2，故43(a2－c2)≤a2，解得e＝ca≥12.又e1，所以该椭圆的离心率e的范围是12，1.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1解法二：由解法一得出|PF1|＋|PF2|＝2a①，|PF1|·|PF2|＝43b2②.由①②可知|PF1|，|PF2|是方程x2－2ax＋43b2＝0的两根．则有Δ＝4a2－4×43b2≥0，即3a2≥4b2＝4(a2－c2)，所以4c2≥a2.所以e＝ca≥12，又e1，所以该椭圆离心率e的范围是12，1.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1解法三：设点P(x，y)，则|PF1|＝a＋ex，|PF2|＝a－ex.在△F1PF2中由余弦定理，得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12.化简得x2＝4c2－a23e2，又因为－axA．0≤4c2－a23e2a2，即0≤4e2－13e21，解得1