2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2

1【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2一、数形结合思想的应用若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法．y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°.∴k＝3或－3.答案：3或－3规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合．1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化．2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质．►变式训练1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．2解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5.∴点C的坐标为(0，5)．又点M的坐标为(－1，0)，∴kMC＝5－00－（－1）＝5.结合图形得0k5.答案：(0，5)2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0表示的区域中，如图，－c为直线x＋y＋c＝0在y轴上的截距，可求出切线l的截距为－(2－1)，∴－c≤－(2－1)．∴c≥2－1.方法二P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上的点，∴m＝cosα，n＝1＋sinα.∴m＋n＝1＋cosα＋sinα.∴－2＋1≤m＋n≤2＋1.∴－(2＋1)≤－(m＋n)≤2－1.若不等式m＋n＋c≥0恒成立，∴c≥－(m＋n)．∴c≥2－1.答案：[2－1，＋∞)二、函数与方程思想的应用已知F(0，1)，直线l：y＝－2，圆C：x2＋(y－3)2＝1.(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，3切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求S的最小值．分析：考虑四边形PACB的面积最小，首先应建立目标函数，通过函数解决问题．解析：(1)设动点M(x，y)，据题意有（x－0）2＋（y－1）2＋1＝y－(－2)，化简得x2＝4y.(2)设动点P(x0，y0)，考虑到切线长相等，所以四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝PA·AC，又由于圆C的半径为1，所以S＝PA＝PC2－1＝（x0－0）2＋（y0－3）2－1.因为x02＝4y0，所以S＝y02－2y0＋8＝（y0－1）2＋7≥7，当且仅当y0＝1，x0＝±2时成立．即S的最小值为7.规律总结：1.函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象等)，使问题得到解决．2．方程的思想多用于曲线方程的求解(如求直线的方程、圆的方程，通常构造含确定曲线方程形态的特征常数的方程或方程组)；两直线位置关系的判定；圆的切线方程的求解等．3．方程和函数这两种思想在本章有机地结合，帮助我们更好地解决了两曲线的位置关系及求函数的值域问题．►变式训练3．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.(1)当t为何值时，方程表示圆？(2)当t为何值时，方程表示的圆的半径最大？并求出半径最大时圆的方程．解析：(1)方程表示圆的条件是[－2(t＋3)]2＋[2(1－4t2)]2－4(16t4＋9)0，即(t－1)(7t＋1)0，解得－17t1，故当－17t1，方程表示圆．(2)由(1)知，当－17t1时，方程表示圆，且其半径r＝12[－2（t＋3）]2＋[2（1－4t2）]2－4（16t4＋9）4＝12－4（7t2－6t－1）＝－7t2＋6t＋1＝－7t－372＋167.所以当t＝37时，半径r有最大值，且rmax＝167＝477，此时圆心坐标为247，－1349，故圆的方程为x－2472＋y＋13492＝167.三、转化与化归思想的应用圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．解析：设圆心与直线的距离为d，d＝|2＋2－14|2＝52，R＝32，∴圆上点到直线的距离最大值为d＋R＝82，最小值d－R＝22.∴(d＋R)－(d－R)＝82－22＝62.答案：62规律总结：通过各种变换，把复杂或未知转化为简单或已知，达到化归的目的．1．运用恒等变换与同解变换，可以把角的关系变换为斜率的关系，把两直线的位置关系变换成斜率与截距间的关系，把点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系变换为两点间距离与半径的关系等．2．运用“实际问题—数学问题”的变换，构建数学模型，通过数学知识寻求实际问题的答案，体现数学的作用，同时发展学生解决问题的能力．3．通过化抽象为具体，化数为形，化形为数，化一般为特殊的数学思想综合处理直线和圆方程中的各类问题．►变式训练4．若线段OQ在xOy平面及yOz平面上的投影长分别为22和17，试问线段OQ最长可为多少？最短可为多少？解析：设Q(u，v，w)，据题意则有u2＋v2＝22，v2＋w2＝17，所以u2＝8－v2，w2＝17－v2.而OQ＝u2＋v2＋w2，5从而有u2＋v2＋w2＝25－v2.因为0≤v2≤8，故17≤OQ≤5.∴线段OQ最长可为5，最短可为17.5．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围为________．解析：圆心(2，3)到直线y＝kx＋2的距离为：|2k－1|k2＋1，∵MN≥23，∴4－（2k－1）2k2＋1≥3.即（2k－1）2k2＋1≤1.解得0≤k≤43.答案：0，43四、分类讨论思想的应用设A(1，－2，x)、B(x，3，0)、C(7，x，6)，且A、B、C三点构成直角三角形，求x的值．解析：由已知条件知AB2＝(x－1)2＋(3＋2)2＋(0－x)2＝2x2－2x＋26，BC2＝(7－x)2＋(x－3)2＋(6－0)2＝2x2－20x＋94，CA2＝(1－7)2＋(2＋x)2＋(x－6)2＝2x2－8x＋76，若AB2＋BC2＝CA2，则4x2－22x＋120＝2x2－8x＋76，即x2－7x＋22＝0，无实数解．若AB2＋CA2＝BC2，则4x2－10x＋102＝2x2－20x＋94，即x2＋5x＋4＝0，解之得x1＝－4，x2＝－1.若BC2＋CA2＝AB2，6则4x2－28x＋170＝2x2－2x＋26，即x2－13x＋72＝0，无实数解．综上可知，实数x的值为－4或－1.规律总结：根据对象的属性，选择适当的标准，把研究对象不重复、不遗漏地划分为若干类，对于培养学生综合运用基础知识能力，严谨、周密的分析能力，良好的思维素质都有重要作用．1．涉及的数学概念是分类定义的，应用的定理、公式，运算性质是分类给出的，解题中必然引起讨论．如求直线的斜率问题，用斜率表示的直线方程，用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆等都要分类讨论．2．数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果，解题中需讨论，如判定两曲线的位置关系等．►变式训练6．设A(－c，0)，B(c，0)(c0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离的比为定值a(a0)，求点P的轨迹．解析：设动点P的坐标为(x，y)，由PAPB＝a(a0)，得（x＋c）2＋y2（x－c）2＋y2＝a，化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.当a≠1时，得x2＋2c（a2＋1）1－a2x＋c2＋y2＝0，整理得x－c（a2＋1）a2－12＋y2＝2aca2－12.当a＝1时，化简得x＝0.所以当a≠1时，点P的轨迹是以a2＋1a2－1c，0为圆心，2aca2－1为半径的圆．当a＝1时，点P的轨迹为y轴．7．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0无公共点，求实数m的取值范围．解析：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程，得：C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，7C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)若圆C1与圆C2内含，则有：（m＋1）2＋（m＋2）23－2.即m2＋3m＋20.解得－2m－1.(2)若圆C1与圆C2外离，则有：（m＋1）2＋（m＋2）23＋2.即m2＋3m－100.解得m－5或m2.综合(1)、(2)可知m的取值范围是(－∞，－5)∪(－2，－1)∪(2，＋∞)．