浙江省杭州市2017版中考数学二轮专题复习十一矩形中的折叠问题含解析

第1页（共24页）  杭州市2017年中考二轮专题复习（十一）矩形中的折叠问题 1．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（） A．6 B．12 C．2 D．4 2．如图矩形ABCD中，AB=2，点E在BC上并且AE=EC，若将矩形纸片沿AE折叠，使点B恰好落在AC上，则矩形ABCD的面积为（） A． B．2 C．4 D．6 3．如图，已知矩形ABCD中，点E在AB上，点O是对角线AC的中点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=6，则折痕CE的长为（）  A．2 B．4 C．8 D．10 4．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，BC′交AD于点E，若AB=4，AD=8，则DE的长为（）  A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD=2，则MN=．  6．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OC，OA分别落在x轴，y轴上，连接OB，将矩形纸片OABC沿OB折叠，使点A落在位A′的位置，A′B与x轴交于点D，若B点坐标为（4，2），则过点A′的反比例函数的解析式为．  7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B（10，4），D是矩形边BC上的一点，将矩形沿过点D的直线折叠，使B的对应点B′落在x轴的正半轴上 （1）当点O与B′重合时，点D的坐标为； （2）连接B′C′，若△B′DC是以B′D为腰的等腰三角形，则点B′的坐标是． 第2页（共24页）  8．如图1，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，现按以下步骤折叠：①将∠BAD对折，使AB落在AD上，得折痕AF（如图2）；②将△AFB沿BF折叠，AF与CD交于点G（如图3）．则CG的长等于cm．  9．如图①，先把一矩形ABCD纸片上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B叠在折痕线MN上，得到Rt△ABE．过B点作PQ⊥MN，分别交EC、AD于点P、Q． （1）求证：△PBE∽△QAB； （2）在图②中，如果沿直线EB再次折叠纸片，点A能否叠在直线EC上？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=3，求AE的长度．  10．如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N （1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）； （2）求折痕GH的长．  11．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=，且． （1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标．     第3页（共24页）  12．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．   13．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F． ①求证：△ABF≌△EDF； ②若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由． ③若AD=9cm，AB=3cm，求四边形BMDF的面积．   14．将矩形ABCD折叠，点A与对角线BD上的点G重合，折痕BE交AD于点E，点C与对角线上的点H重合，折痕DF交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB=6，AD=8，求EH的长．   15．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G． （1）求证：AG=C′G； （2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．    第4页（共24页）  16．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．  （1）求∠CPQ的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？ （3）求y与x之间的函数关系式； （4）①当x取何值时，重叠部分的面积最大，并求出这个最大值；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？  17．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得 Rt△AB′E，如图（2）所示； 第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．  探究： （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论． （2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由． （3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx﹣k （k＜0） ①问：EF与抛物线y= 有几个公共点？ ②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求 的值． 第5页（共24页）  18．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，n），C（m，0），双曲线y=（x＞0）与矩形OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE，将△DBE沿DE翻折后得△DB′E． 探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B′又恰好落在线段OD上，证明：OE平分∠DOC； 探究二：如图3，若OE平分∠DOC，当四边形DB′EB是正方形时，求矩形OABC的面积； 探究三：如图4，若点D在直线y=x上，是否存在m的值使B′点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．   第6页（共24页）  参考答案与试题解析 1．【分析】设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x， ∵沿EF翻折后点C与点A重合， ∴AE=CE=16﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2， 即82+x2=（16﹣x）2， 解得x=6， ∴AE=16﹣6=10， 由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF， ∵矩形ABCD的对边AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF=10， 过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形， ∴EH=AB=8， AH=BE=6， ∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4， 在Rt△EFH中，EF===4． 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口． 2．【分析】根据折叠的性质及等边对等角的性质，可得到∠BAE=∠EAC=∠ECA，根据三角形内角和定理即可求得∠ECA的度数，再根据直角三角形的性质可求得AC的长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出BC的长，根据矩形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵AE=EC， ∴∠EAC=∠ECA， 第7页（共24页）  ∵将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠BAE=∠EAC=∠ECA， ∵∠B+∠ECA+∠CAB=180°， ∴∠ECA=30°， ∵AB=2， ∴AC=2AB=4， 在Rt△ABC中， ∵AB2+BC2=AC2，即22+BC2=42，解得BC=2， ∴S矩形ABCD=AB•BC=2×2=4． 故选C． 【点评】本题考查的是图形的反折变换及矩形的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键． 3．【分析】由点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，可求得∠BAC=30°，继而可得∠BCE=30°，继而求得折痕CE的长． 【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，E是AB上的点沿CE折叠后，点B恰好与点O重合， ∴AC=2OC=2BC，∠B=90°，∠ACE=∠BCE， ∴sin∠BAC==， ∴∠BAC=30°， ∴∠ACB=90°﹣∠BAC=60°， ∴∠BCE=30°， ∴CE===4． 故选B． 【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 4．【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【解答】解： 设ED=x，则AE=8﹣x； ∵四边形ABCD为矩形， 第8页（共24页）  ∴AD∥BC， ∴∠EDB=∠DBC； 由题意得：∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴EB=ED=x； 由勾股定理得： BE2=AB2+AE2， 即x2=42+（8﹣x）2， 解得：x=5， 故选D． 【点评】该命题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 5．【分析】设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：设DH=x，CH=2﹣x， 由翻折的性质，DE=1， EH=CH=2﹣x， 在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2， 即12+x2=（2﹣x）2， 解得x=，EH=2﹣x=． ∵∠MEH=∠C=90°， ∴∠AEN+∠DEH=90°， ∵∠ANE+∠AEN=90°， ∴∠ANE=∠DEH， 又∠A=∠D， ∴△ANE∽△DEH， =，即=， 解得EN=， 第9页（共24页）  MN=ME﹣NE=2﹣=， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点． 6．【分析】根据翻折变换的性质以及勾股定理得出DO的长，进而利用△OA′D面积可得出A′E的长，进而得出A′点坐标，即可得出过点A′的反比例函数的解析式． 【解答】解：由题意可得出：∠ABO=∠OBA′， ∵AB∥CO， ∴∠ABO=∠BOC， ∴∠A′BO=∠DOB， ∴DO=BD， ∵B点坐标为（4，2）， ∴CO=4，BC=2， 设OD=x，则BD=x，DC=4﹣x， 在Rt△BDC中 BD2=CD2+BC2， ∴x2=（4﹣x）2+22， 解得：x=2.5， ∴A′D=4﹣2.5=1.5，OA′=AO=2， 过点A′作A′E⊥x轴于点E，作A′F⊥y轴于点F， 由△OA′D面积可得出： ∵A′E×DO=OA′×A′D， ∴A′E==， ∴OE==， ∴A′点坐标为：（，﹣）， ∴k=×（﹣）=﹣， ∴过点A′的反比例函数的解析式为：y=﹣． 第10页（共24页）  故答案为：y=﹣． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，得出BD=DO进而利用勾股定理得出DO的长是解题关键． 7．【分析】（1）如图1中，当B′与O重