2011年高考数学一轮复习精品课件函数模型及其应用

要点梳理1.两种增长型函数模型的图象与性质§2.9函数模型及其应用基础知识自主学习y=ax(a1)y=logax(a1)在(0,+∞)上的增减性_______________增长速度________________增函数增函数越来越快越来越慢函数性质图象的变化随x增大逐渐表现为与______平行随x增大逐渐表现为与______平行y轴x轴2.常用的几类函数模型(1)一次函数模型f(x)=kx+b(k、b为常数，k≠0);(2)反比例函数模型(k、b为常数,k≠0);(3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)；(4)指数函数模型f(x)=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0,b0,b≠1）；(5)对数函数模型f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m≠0,a0,a≠1）;bxkxf)(3.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为4.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果要回到实际问题中写答案.基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为（）A.2B.6C.8D.10解析依题意解得2≤x≤8,则x的最小值为2.,11210070)10100(xxA2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于（）A.3~4万元B.4~5万元C.5~6万元D.2~3万元解析设存入的本金为x，则x·2%·20%=138.64，.66034404003861xA3.在一定范围内，某种产品的购买量yt与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000t,每t为800元；购买2000t,每t为700元;一客户购买400t,单价应该是（）A.820元B.840元C.860元D.880元解析依题意，可设y与x的函数关系式为y=kx+b,由x=800,y=1000及x=700,y=2000,可得k=-10,b=9000,即y=-10x+9000,将y=400代入得x=860.C4.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数；T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时温度为（）A.8℃B.78℃C.112℃D.18℃解析由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃.B5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是______.解析依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由14=2x-2,解得x=4.加密发送解密4题型一一次、二次函数模型【例1】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH,CG,CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值.题型分类深度剖析思维启迪解设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为{x|0x≤b}.又0ba,∴0b2121,8)()4(2)(2)])((2121[22222babaxxbaxxbxaxabS,2ba若≤b,即a≤3b时，则当时，S有最大值若即a3b时,S(x)在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为综上可知，当a≤3b时，时，四边形面积Smax=当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.4ba4bax;8)(2ba,4bba,8)()4(2222babbabab4bax,8)(2ba探究提高二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.知能迁移1某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.图1图2(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？(1)证明图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90°，180°,270°后得到，∴EF=FG=GH=HE，∴△CFE为等腰直角三角形，∴四边形EFGH是正方形.(2)解设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），=a(x2-0.2x+0.24）=a[(x-0.1)2+0.23]（0x0.4）,∵a0，∴x=0.1时，W有最小值，即总费用最省.答当CE=CF=0.1米时，总费用最省.axxaxaxW)]4.0(4.0212116.0[2)4.0(4.02132122题型二分段函数模型【例2】某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.思维启迪第(1)问就是根据图①和②所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.解(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,图②是一个二次函数的部分图象，.4030,2406,300,2)(tttttf得).400(6203)(2ttttg故(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为.4020,60,200,3)(tttth.4030),240203(603020),8203(60,200),8203(3)(222ttttttttttF当0≤t≤20时，∴F（t）在［0，20］上是增函数，∴F（t）在此区间上的最大值为F（20）=60006300.当20t≤30时，由F（t）=6300，得3t2-160t+2100=0,解得t=(舍去)或t=30.,0)202748(482027)(',24209)8203(3)(2232tttttFttttttF).8203(60)(2tttF370当30t≤40时，由F（t）在（30，40］上是减函数，得F(t)F(30)=6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天.(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.探究提高).240203(60)(2ttF知能迁移2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数：其中x是仪器的月产量.（1）写出利润f(x)与月产量x的函数关系式；（2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）,)400(00080)4000(21400)(2xxxxxR解（1）由题意得，总成本为（20000+100x）元，从而（2）当0≤x≤400时，当x=300时，有最大值25000；当x400时，f(x)=60000-100x是减函数，f(x)60000-100×40025000.所以，当x=300时，有最大值25000.所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元..)400(10000060)4000(0002030021)(2xxxxxxf,00025)300(21)(2xxf题型三函数的综合应用【例3】（12分）一位牧民计划用篱笆为他的马群围一个面积为1600m2的矩形牧场，由于受自然环境的影响，矩形的一边不能超过am，求用最少篱笆围成牧场后的矩形长与宽.解设一边的长为xm，0x≤a，则宽为矩形的周长为W，［2分］m,6001x.40,,160,W,40,40,40,80402W),6001(22矩形长与宽都是此时值为其最小最小周长时若时即当显然则那么axxxxxxxW［6分］解题示范若0a40时，由于函数在区间（0,a］上是减函数，则当x=a时，周长W最小，其最小值为此时，矩形长与宽分别是a与［10分］故当a≥40时，矩形长与宽都是40；当0a40时，矩形长与宽分别是a与［12分］分类讨论是本题的一个重要内容.以40为标准分为a≥40，0a40两种.本题易出现不讨论，而直接按重要不等式求最值的错误.xx60012W),6001(2aa.6001a.6001a探究提高知能迁移3经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80-2t（件），价格近似满足(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.).(|10|2120)(元ttf解（1）y=g（t）·f（t）=（40-t）（40-|t-10|）=（2）当0≤t10时,y的取值范围是[1200,1225],在t=5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是［600，1200］，在t=20时，y取得最小值为600.答第5天，日销售额y取得最大值为1225元；第20天，日销售额y取得最小值为600元.|)10|2120()280(tt.2010),50)(40(,100),40)(30(tttttt思想方法感悟提高1.求解函数应用题的一般方法“数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般程序是：(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模:求解数学模型,得到数学结论；(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.方法与技巧2.几种重要的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型: