15-虚位移原理.

2§15–1约束•虚位移•虚功§15–2虚位移原理第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理3在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径；不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理§15-1约束•虚位移•虚功平面单摆222lyx曲柄连杆机构222ryxAA0,)()(222BABABylyyxx例如：即限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。5（1）几何约束和运动约束1．约束及其分类下面从不同角度对约束分类。如图所示，质点M在固定曲面上运动，其曲面方程就是该质点的约束方程，即o),,(zyxf限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构中的限制条件都是几何约束。动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。如图所示，车轮作纯滚动。几何约束ryA运动约束00rxrvAA或当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这类约束称为非定常约束。（2）定常约束和非定常约束约束条件不随时间改变的约束为定常约束。定常约束方程中不显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。2022)(vtlyx例如右图，重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。约束方程为动力学第十五章虚位移原理非定常约束定常约束8（3）其他约束若约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，这类约束称为非完整约束。一般非完整约束方程只能以微分形式表达。例如动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理非完整约束追踪系统OyxvAABxAyAxByBABABAAyyxxyx约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理反之，若约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束。完整约束的一般形式为),,2,1(0);,,,,,,(111sjtzyxzyxfnnnj几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。12如下图，刚性杆限制了质点M沿杆拉伸和压缩方向的位移，这类约束称为双侧约束（或固执约束）。若刚性杆改为绳，则只限制质点或质点系单一方向运动，该类约束称为单侧约束（或非固执约束）。显然双侧约束方程为等式，单侧约束方程为不等式。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2l2本章只讨论定常的双侧几何约束，其方程一般形式为),,2,1(0),,,,,,(111sjzyxzyxfnnnj式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理单面约束动力学第十五章虚位移原理双面约束15确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。例如,前述曲柄连杆机构例子中,确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。2．自由度、广义坐标一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为snk3用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可取线位移（x,y,z,s等）也可取角位移（如q,,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。),,,(),,,(),,,(),,,(21212121kiikiikiikiiqqqqqqzzqqqyyqqqxxrr),,2,1(ni17例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。0,sincossin,cos222BBAAyrlrxryrx动力学第十五章虚位移原理18例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。2212212221212211)()(),(,),(byyxxayxyxyx两个自由度取广义坐标，coscos,sinsincos,sin2211baybaxayax动力学第十五章虚位移原理19某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。3．虚位移如图，系统中质点在平衡时本来是不动的，但我们设想在约束允许条件下，给某个质点一个任意的、极其微小的位移。动力学第十五章虚位移原理M动力学第十五章虚位移原理实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。实位移与虚位移的区别动力学第十五章虚位移原理虚位移与实位移22对于非定常约束，如图所示，由于实位移与时间有关，而虚位移是将时间固定后，约束允许的位移，此时实位移不再是虚位移之一。*质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：(1)几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。tddvr动力学第十五章虚位移原理23kkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211),2,1(ni(2)解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分，各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为kqqq,,,21ir动力学第十五章虚位移原理24[例1]分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移的关系。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此为一个自由度系统，取OA杆与x轴夹角为广义坐标。几何法sin21sin2aaPBPCrrlarrBCAC动力学第十五章虚位移原理25将C、A、B点的坐标表示成广义坐标的函数，得0,cos2sin,cossin,cosBBAACCyaxlylxayax解析法对广义坐标求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：0,sin2cos,sincos,sinBBAACCyaxlylxayax动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为。WδzFyFxFWWzyxδδδδδδ或rF4．虚功虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采用了同一符号W，但它们之间有本质区别，虚功是假象的，不是真实发生的。在静止质点系或机构中，力没有做任何功，但力可以有虚功。27如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所做虚功的和等于零，称这种约束为为理想约束。质点系受有理想约束的条件：5．理想约束*在动能定理一章中已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束。现从虚功的角度分析，这些约束也为理想约束。动力学第十五章虚位移原理28§15-2虚位移原理如图，设一质点系静止平衡，任取一质点，则该质点也处于静止平衡状态，有0NiiFF若给某一质点一虚位移，则作用在该质点上力的虚功之和为0δδNiiiirFrF对质点系所有质点，都可以得到上面同样的等式，把这些等式相加，得0δδNiiiirFrF动力学第十五章虚位移原理动力学第十五章虚位移原理如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作的虚功和为零，即0δδ0δFNiiiiiWrFrF0)δδδ(iziiyiixizFyFxF可以证明，上式不仅是质点系平衡的必要条件，也是充分条件，所以可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和为零。这个结论称为虚位移原理，也称虚功原理，上式又称虚功方程。该方程也可写成解析式：30*上面的推导证明了虚位移原理的必要性，下面给出其充分性：在方向上产生实位移，取，则iRFirdiirrdδ0δδ)(RNiiiiirFrFF0δ)(NiiirFF对质点系：而理想约束下0δNiirF0δiirF与前题条件矛盾故时质点系必处于平衡。0δiirF动力学第十五章虚位移原理充分性：即质点系满足，质点系一定平衡。若，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。即0δiirF0RNiiiFFF0δiirF31*虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；4、求平衡构架内二力杆的内力。虽然虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用于非理想约束的情况，只要把非理想约束力当作主动力，在虚功方程中计入非理想约束力所作的功即可。动力学第十五章虚位移原理32[例2]图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P1和P2之间的关系。解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。动力学第十五章虚位移原理331、几何法：给A以虚位移，B的虚位移，则由虚位移原理，得虚功方程：Arδ0δ)tan21ArP(P由的任意性，得Arδtan21PP0δδ21BArPrPtanδδcosδsinδABBArrrrBrδ动力学第十五章虚位移原理342、解析法由于系统为单自由度，可取为广义坐标。δcosδδsinδsincoslylxlylxABAB由于任意，故δtan21PP0δδ21BAxPyP0δ)sincos(21lPP动力学第十五章虚位移原理35解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。[例3]均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力F以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及。y动力学第十五章虚位移原理36代入(a)式，得：0δ)cos2sin(δ)cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP应用虚位移原理，)(021axFyPyPBDC解法一：δcos2δcos2δsin2sin2δsinδsin2δcoscos2δsinδcosbaxbaxbaybayayayBBDDCC而动力学第十五章虚位移原理37由于是彼此独立的，所以：δ,δ0cos2sin0cos2sin2sin221bFbPaFaPa