2011年高考数学理科模拟试卷(五)

—1—2011年高考数学理科模拟试卷（五）本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1－p)n－k球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=34R3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A={1，2，3}，B={－1，0，1}，满足条件f(3)=f(1)+f(2)的映射f：A→B的个数是A.2B.4C.5D.72.若指数函数y=ax在［－1，1］上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于A.251B.251C.251D.2153.对于任意k∈［－1,1］,函数f(x)=x2+(k－4)x－2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是A.x0B.x4C.x1或x3D.x14.等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1+a2+a3+…+an=2n－1，则a12+a22+a32+…+an2等于A.(2n－1)2B.31(2n－1)C.4n－1D.31(4n－1)5.在以下关于向量的命题中，不正确的是A.若向量a=(x,y)，向量b=(－y,x)(xy≠0)，则a⊥bB.四边形ABCD是菱形的充要条件是DCAB,且|AB|=|AD|C.点G是△ABC的重心，则GA+CGGB=0D.△ABC中，AB和CA的夹角等于180°－A6.直线l1与平面所成的角为30°，直线l2与l1所成的角为60°，则l2与平面所成的—2—角的取值范围是A.{|0°≤≤60°}B.{|15°≤≤90°}C.{|60°≤≤90°}D.{|0°≤≤90°}7.两个同底的正三棱锥P—ABC和Q—ABC都内接于同一个半径为R的球O，设正三棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角分别为,，则tan(+)等于A.－aR334B.－aR332C.－aR33D.－aR38.抛物线y=31x2上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0(常数p,q∈R)的两个实根，则直线AB的方程是A.qx+3y+p=0B.qx－3y+p=0C.px+3y+q=0D.px－3y+q=09.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)10.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y+2a+1=0恒过的定点是A.(2,3)B.(－2,3)C.(1,－21)D.(－2,0)11.△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC的值为A.－41B.41C.－32D.3212.在复平面内，把复数3－33i对应的向量按顺时针方向旋转6，所得向量对应的复数是A.23B.3－3iC.－23iD.3+3i第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.不等式log2(2x－4)2的解集是___________.14.要把4名学生保送到3所不同的高校去，每所高校至少保送1人，则不同的保送方法的种数是___________.(用数字作答)15.如图，三棱锥S—ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，SC⊥平面ABC，D是AB的中点，—3—则图中以S、A、B、C、D中的三点为顶点的所有三角形中，不是．．直角三角形的是___________.(有几个，写几个)16.若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)=－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)=0②f(x)是以4为周期的函数③f(x)的图象关于直线x=0对称④f(x+2)=f(－x)其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1=1，a2=2，数列{an·an+1}是公比为q(q0)的等比数列.(1)求使an·an+1+an+1·an+2an+2·an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；(2)若bn=a2n－1+a2n(n∈N*),求bn的表达式；(3)若Sn=b1+b2+…+bn，求Sn，并求nnS1lim.18.(本小题满分12分)已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边.(1)若△ABC面积为23，c=2，A=60°，求a,b的值；(2)若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论.19.(本小题满分12分)20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表所示：每亩所需劳动力数每亩预计产值蔬菜210.6万元棉花310.5万元水稻410.3万元问：怎样安排田地，才能使每亩地都种上农作物，且所有劳动力都有工作，农作物的预计总产值最高？20.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB，AC均—4—成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；(2)求点A1到平面B1BCC1的距离；(3)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等？21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f(1)+f(4)=0；(2)试求y=f(x)在［1，4］上的解析式；(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.22.(本小题满分14分)设双曲线3222xay=1的焦点分别为F1、F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线L1、L2的方程；(2)若A、B分别为L1、L2上的动点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.—5—参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：题意即3的象是1和2的象之和.答案：D2.解析：无论怎样总有|a－a－1|=1,解之即得.答案：D3.解析：化f(x)为g(k)=(x－2)k+(x2－4x+4),令g(1)0,g(－1)0即得.答案：C4.D5.C6.解析：线面所成角的最大角为直角.答案：D7.A8.解析：用点差法及韦达定理综合做.答案：C9.D10.解析：用特值法.令a=1及a=0去求交点；或看成直线系方程做.答案：B11.解析：用正余弦定理解.答案：A12.B二、填空题(每小题4分，共16分)13.{x|2x3}14.3615.△SAB16.①②④三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)由题意an·an+1=2qn－1,故an·an+1+an+1·an+2an+2·an+3可化为：2qn－1+2qn2qn+1,又q0,∴q2－q－10.∴0q251.4分(2)由an·an+1=2qn－1,an－1·an=2qn－2,∴11nnaa=q.∴{an}的奇数项依次成等比数列.∴a2n－1=qn－1,{an}的偶数项依次成等比数列.∴a2n=2qn－1.∴bn=3qn－1.8分(3)①当q=1时，Sn=3n,nSn311,此时nnS1lim=0.②当q≠1时，Sn=)1(311,1)1(3nnnqqSqq,若0q1,则311limqSnn,—6—若q1，则01limnnS.12分18.解：(1)由已知得2123bcsinA=bsin60°,∴b=1.由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA=3,∴a=3.5分(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B,由已知A、B为三角形内角，∴A+B=90°或A=B.∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.12分19.解：设种x亩蔬菜，y亩棉花，则种水稻(50－x－y)亩，由题意得：45032yxyx=20,从而y=90－3x,50－x－y=2x－40,5分由04020390xx得20≤x≤30,设预计总产值为C(x),则C(x)=0.6x+0.5(90－3x)+0.3(2x－40)=－0.3x+33,由于C(x)是关于x的一次函数且一次项系数为负，且它在［20，30］上是单调递减函数，所以当x=20时，C(x)取得最大值27，此时y=30,50－x－y=0.所以种20亩蔬菜，30亩棉花，总产值最高.12分20.(1)证明：已知A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F，由B1B⊥平面A1EF，得平面A1EF⊥平面B1BCC1.3分(2)解：易得△A1EF为等腰直角三角形，取EF的中点N，连A1N，则A1N⊥EF，所以A1N⊥平面B1BCC1.所以A1N为点A1到平面B1BCC1的距离.又A1N=21EF=1，所以点A1到平面B1BCC1的距离为1.7分(3)解：设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连AD，DD1和A1D1，则N∈DD1.∵DD1∥BB1∥AA1,∴A、A1、D、D1四点共面.∴AD∥A1D1.∴A1ADD1为平行四边形.∵B1C1⊥A1D1，A1N⊥平面BCC1B1，∴B1C1⊥D1D，又B1C1⊥A1N.∴B1C1⊥平面ADD1A1.∴BC⊥平面ADD1A1.∴平面A1ADD1⊥平面ABC.作A1M⊥面ABC于M，则点M在AD上，若A1M=A1N，又∠A1AD=∠A1D1D，∠A1MA=∠A1ND1=90°,则Rt△A1MA≌Rt△A1ND1，于是A1A=A1D1=3,即当A1A=3时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等.12分—7—21.(1)证明：略.4分(2)解：f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4);8分(3)解：f(x)=96,5)7(264,1532xxxx.12分22.解：(1)渐近线L1、L2的方程为x－3y=0和x+3y=0.6分(2)∵|F1F2|=4，2|AB|=5|F1F2|，∴|AB|=10.设A在L1上，B在L2上，则可以设A(3y1,y1)、B(－3y2,y2),∴221221)()(3yyyy=10.①设AB的中点M(x,y),则x=2,2332121yyyyy.∴y1－y2=32x,y1+y2=2y,代入①得12y2+342x=100,即2537522yx=1为中点M的轨迹方程，故轨迹为椭圆.14分