2011年高考数学理科模拟试卷(八)

—1—2011年高考数学理科模拟试卷（八）本试卷分第I卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分），考试时间120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）=knCpk（1－p）n－k球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径球的体积公式V=34πR3，其中R表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是A.M∩（N∪P）B.M∩［（IN）∩P］C.［（IM）∩（IN）］∩PD.（M∩N）∪（M∩P）2.奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为3.设O、A、B、C为平面上四个点，OA=a，OB=b，OC=c，且a+b+c=0，a，b，c两两数量积都为－1，则｜a｜+｜b｜+｜c｜等于A.22B.23C.32D.334.下列函数中值域是（0，+∞）的函数是A.y=x215B.y=（21）1－x—2—C.y=x21D.y=121x5.三个数成等差数列，其公差为d，如果最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积为1000，此时d为A.8B.8或－15C.±8D.±156.设abc，且cancbba11，则n的最大值为A.2B.3C.4D.57.已知0＜θ＜4，则下列各式中正确的是A.sinθ＜cosθ＜cotθB.cosθ＜cotθ＜sinθC.cotθ＜sinθ＜cosθD.cosθ＜sinθ＜cotθ8.如果AC0且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.有如下一些说法，其中正确的是①若直线a∥b，b在面α内，则a∥α；②若直线a∥α，b在面α内，则a∥b；③若直线a∥b，a∥α，则b∥α；④若直线a∥α，b∥α，则a∥b.A.①④B.①③C.②D.均不正确10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为54，乙答及格的概率为53，丙答及格的概率为107，三人各答一次，则三人中只有一人答及格的概率为A.203B.12542C.25047D.以上都不对11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为A.1B.2C.2D.2212.已知曲线S:y=3x－x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线的条数为A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13.已知双曲线2222byax=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，若b2－4ac＜0，则它的离心率的取值范围是.14.地球北纬45°圈上有两点A、B，点A在东经130°处，点B在西经140°处，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是.—3—15.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则a=，b=.16.有下列命题：①G=ab（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0;③若不等式|x－4|+｜x－3|a的解集非空，则必有a≥1;④函数y=sinx+sin｜x｜的值域是［－2，2］.其中错误命题的序号是.（把你认为错误的命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝的首项a1=1，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二、三、四项.（1）求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；（2）设数列｛cn｝对任意自然数n均有nnbcbcbcbc332211=an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2003的值.18.（本小题满分12分）如图，已知：PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶2.（1）求PB与平面PDC所成角的大小；（2）求二面角D—PB—C的正切值.19.（本小题满分12分）在△OAB中，OBODOAOC21,41，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，（1）用a，b表示OM;（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE=pOA，OF=qOB，求证：pp7371=1.20.（本小题满分12分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：N),94(32N),941(961xxxxx.—4—已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损2A元，厂方希望定出适当的日产量.（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由；（2）当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；（3）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？21.（本小题满分12分）已知双曲线C:2222byax=1（a＞0，b＞0）的一条准线方程为x=59，一个顶点到一条渐近线的距离为512.（1）求双曲线C的方程；（2）动点P到双曲线C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数（大于|AF|），且cosAPF的最小值为－257，求动点P的轨迹方程.22.（本小题满分14分）已知函数f(x)满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2.（1）求f（1）的值;（2）证明:对一切大于1的正整数t，恒有f（t）t;（3）试求满足f（t）=t的整数的个数，并说明理由.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.B2.解析：用图象平移或直接求出f（x－1）的解析式即得.答案：D3.解析：利用a+b=－c平方得.答案：C4.B5.B6.解析：用基本不等式baba1122（a＞0，b＞0）变形得.答案：C7.解析：由tanθ=cossin＞sinθ得.答案：A8.解析：利用AC0，BC0研究横纵截距.答案：C9.D10.C11.D12.解析：设S的切线方程，令切线过点P可求得.答案：D二、填空题（每小题4分，共16分）—5—13.（1，2+5）14.32∶415.4，－1116.③三、解答题（17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分）17.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2（d＞0），解得d=2，∴an=2n－1.可得bn=3n－15分（2）当n=1时，c1=3;当n≥2时，由nnbc=an+1－an，得cn=2·3n－1，故cn=).2(32),1(31nnn9分故c1+c2+c3+…+c2003=3+2×3+2×32+…+2×32002=32003.12分18.解：（1）由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得PD⊥BC.由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC.又PD∩DC=D，则BC⊥平面PDC.所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角.3分令PD=1，则DC=1，BC=2，可求出PC=2.由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC.在Rt△PBC中，由PC=BC，得∠BPC=45°，即直线PB与平面PDC所成的角为45°.5分（2）如图，取PC中点E，连DE，则DE⊥PC.由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC⊥平面PBC.则DE⊥平面PBC.7分作EF⊥PB于F，连DF，由三垂线定理，得DF⊥PB.则∠DFE为二面角D—PB—C的平面角.9分在Rt△PDC中，求得DE=22.在Rt△PFE中，求得EF=21.在Rt△DEF中，tanDFE=.2EFDE11分即二面角D—PB—C的正切值为2.12分—6—19.（1）解：设OM=ma+nb，则AM=（m－1）a+nb;AD=－a+21b，∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴5.011nm，∴m+2n=1.①2分而)41(mOCOMCMa+nb，41CBa+b，∵C、M、B共线，∴CM与CB共线，∴14141nm，∴4m+n=1.②4分联立①②可得m=71，n=73，∴71OMa+73b.7分（2）证明：EM=（71－p）a+73b，EF=－pa+qb，∵EF与EM共线，∴qpp7371.∴71q－pq=－73p，即qp7371=1.12分20.解：（1）当x94时，p=32，故每日生产的合格品约为31x件，次品约为32x件，合格品共可赢利31xA元，次品共亏损32x·312AxA元.因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利.5分（2）当1≤x≤94时，p=x961，每日生产的合格品约为x（1－x961）件，次品约为xx96件，∴T=x（1－x961）A－xx96·2A=［x－)96(23xx］A（1≤x≤94）.（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利.当1≤x≤94时，.]96144)96(2196[)9614423(AxxAxxT.—7—∵x≤94，96－x＞0，∴T≤.02147]96144)96(22197[AAxx当且仅当（96－x）=x96144时，即x=84时，等号成立.故要获得最大利润，日产量应为84件.12分21.解：（1）易求得方程为16922yx=1.5分（2）A、F是定点，由圆锥曲线的定义知，点P的轨迹为椭圆.设其长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c=8，在△PAF中，应用余弦定理研究∠APF的余弦，应用基本不等式可知，cosAPF≥1－232a，当且仅当|PA|=|PF|=a时取等号，故a2=25，b2=9，求出椭圆中心的坐标为（1，0），则所求方程为925)1(22yx=1.12分22.（1）解：令x=y=0，得f（0）=－1.令x=y=－1，因f（－2）=－2，所以f（－1）=－2.令x=1，y=－1，得f（0）=f（1）+f（－1），所以f（1）=1.4分（2）证明：令x=1，得f（y+1）－f（y）=y+2，故当y∈N时，有f（y+1）－f（y）0.由f（y+1）f（y），f（1）=1可知，对一切正整数y都有f（y）0.当y∈N时，f（y+1）=f（y）+y+2=f（y）+1+y+1y+1.故对一切大于1的正整数，恒有f（t）t.9分（3）解：由f（y+1）－f（y）=y+2及（1）可知f（－3）=－1，f（－4）=1.下面证明t≤－4时，f（t）＞t.∵t≤－4，∴－（t+2）≥2＞0.∵f（t）－f（t+1）=－（t+2）＞0，∴f（－5）－f（－4）＞0，同理可得f（－6）－f（－5）＞0，f（t+1）－f（t+2）＞0，f（t）－f（t+1）＞0.将各不等式相加得f（t）＞f（－4）=1＞－4.∵t≤－4，∴f（t）＞t.综上所述，满足条件的整数只有两个：1和－2.14分