2011年高考文科数学(湖北卷)(完全)

湖北文科1.(2011湖北,文1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则∁U(A∪B)=().A.{6,8}B.{5,7}C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}2.(2011湖北,文2)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于().A.-B.C.D.3.(2011湖北,文3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=().A.ex-e-xB.(ex+e-x)C.(e-x-ex)D.(ex-e-x)4.(2011湖北,文4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则().A.n=0B.n=1C.n=2D.n≥35.(2011湖北,文5)有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频数为().A.18B.36C.54D.726.(2011湖北,文6)已知函数f(x)=√sinx-cosx,x∈R.若f(x)≥1,则x的取值范围为().A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z}B.{x|kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z}C.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}D.{x|kπ+≤x≤kπ+,k∈Z}7.(2011湖北,文7)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是().A.V1比V2大约多一半B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半8.(2011湖北,文8)直线2x+y-10=0与不等式组{--表示的平面区域的公共点有().A.0个B.1个C.2个D.无数个9.(2011湖北,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为().A.1升B.升C.升D.升10.(2011湖北,文10)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=√-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的().A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11.(2011湖北,文11)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市家.12.(2011湖北,文12)(x-√)18的展开式中含x15的项的系数为.(结果用数值表示)13.(2011湖北,文13)在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)14.(2011湖北,文14)过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为√,则直线l的斜率为.15.(2011湖北,文15)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.16.(2011湖北,文16)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=.(1)求△ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值.17.(2011湖北,文17)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.18.(2011湖北,文18)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3√,点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE=2√,BF=√.(1)求证:CF⊥C1E;(2)求二面角ECFC1的大小.19.(2011湖北,文19)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)20.(2011湖北,文20)设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2.其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.21.(2011湖北,文21)平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系.(2)当m=-1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2.若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,请说明理由.湖北文科1.AA∪B={1,2,3,4,5,7},故∁U(A∪B)={6,8}.2.C由于2a+b=(3,3),a-b=(0,3),所以cos2a+b,a-b=·-·-=√=√,故2a+b与a-b的夹角为.3.D由题意令-x去替换x得f(-x)+g(-x)=e-x,即f(x)-g(x)=e-x,与已知等式联立,可求得g(x)=(ex-e-x).4.C如图所示,根据抛物线的对称性,另外两顶点的横坐标必定相等,因此关于x轴对称,要使三角形为正三角形,需过焦点作斜率为√和-√的直线,则△ABF和△CDF满足条件,综上可知n=2.5.B频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1,每个小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率,故样本数据落在区间[10,12)内的频率为1-2×(0.02+0.05+0.15+0.19)=0.18,故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200=36.6.A∵f(x)=√sinx-cosx=2sin(x-),∴f(x)≥1即为sin(x-)≥,∴2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z),∴x∈[2kπ+,2kπ+π](k∈Z).7.D设球的半径为r,正方体棱长为a,则3a2=4r2,即a=√r,∴V1=πr3,V2=√r3,=√,故选D.8.B如图所示,不等式组表示的平面区域为阴影部分,直线与阴影只有一个公共点(5,0).9.B设最上面一节容积为a,容积依次增大d,由题意知,4a1+6d=3和3a1+21d=4,可求得a1=,d=.故a5=.10.C由题意a与b互补指的是a=0时b≥0或者b=0时a≥0,故a与b互补时√-a-b=0,即φ(a,b)=0,而当φ(a,b)=0时,√=a+b可得ab=0且a+b≥0,∴a=0时b≥0或b=0时a≥0,因此互为充要条件.11.20本题为分层抽样,所以应抽取中型超市个数为400×=20.12.17(x-√)18展开式中的通项为Tr+1=x18-r(-√)r=(-)r-,令18-r=15得r=2,故式中含x15项的系数为(-)2·=17.13.依题意,至少取到1瓶已过保质期饮料分为两类:一是只有1瓶过保质期,P1=;二是2瓶都过保质期,P2=,故P=P1+P2=.14.1或设直线的斜率为k,则可得直线方程为y-kx+2-k=0,圆心到直线距离d=-√,又圆心到直线的垂线段,圆的半径,弦的一半构成直角三角形,所以d2+(√)2=1,可求得k=1或k=.15.610000第一空,lg1000-lg0.001=3-(-3)=6,第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lgA1-(-3),5=lgA2-(-3),所以A1=106,A2=102,=10000.16.解:(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4,∴c=2.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.(2)∵cosC=,∴sinC=√-=√-=√.∴sinA==√=√.∵ac,∴AC,故A为锐角.∴cosA=√-=√-√=.∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=×+√×√=.17.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d,依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故{bn}的第3项为5,公比为2,由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3.(2)数列{bn}的前n项和Sn=--=5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2.所以S1+=,=·-·-=2.因此{Sn+}是以为首项,公比为2的等比数列.18.解法1:(1)由已知可得CC1=3√,CE=C1F=√√=2√,EF2=AB2+(AE-BF)2,EF=C1E=√√=√,于是有EF2+C1E2=C1F2,CE2+C1E2=C,所以C1E⊥EF,C1E⊥CE.又EF∩CE=E,所以C1E⊥平面CEF.由CF⊂平面CEF,故CF⊥C1E.(2)在△CEF中,由(1)可得EF=CF=√,CE=2√,于是有EF2+CF2=CE2,所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥C1E,且EF∩C1E=E,所以CF⊥平面C1EF.又C1F⊂平面C1EF,故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角ECFC1的平面角.由(1)知△C1EF是等腰直角三角形,所以∠EFC1=45°,即所求二面角ECFC1的大小为45°.解法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得A(0,0,0),B(√,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,3√),E(0,0,2√),F(√,1,√).(1)⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-2,-√),⃗⃗⃗=(√,-1,√),⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗=0+2-2=0,∴CF⊥C1E.(2)⃗⃗⃗⃗=(0,-2,2√),设平面CEF的一个法向量为m=(x,y,z),由m⊥⃗⃗⃗⃗,m⊥⃗⃗⃗,得{·⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗即{-√√-√可取m=(0,√,1).设侧面BC1的一个法向量为n,由n⊥⃗⃗⃗⃗,n⊥⃗⃗⃗⃗⃗,及⃗⃗⃗⃗=(√,-1,0),⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,3√),可取n=(1,√,0).设二面角ECFC1的大小为θ,于是由θ为锐角可得cosθ=··=√√=√,所以θ=45°.即所求二面角ECFC1的大小为45°.19.解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60,当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得{解得{-故函数v(x)的表达式为v(x)={-(2)依题意并由(1)可得f(x)={-当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时,f(x)=x(200-x)≤[-]2=,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大