2011年高考文科数学(辽宁卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x1|x}，B={x21|x}}，则AB=A．{x21|x}B．{x1|x}C．{x11|x}D．{x21|x}2．i为虚数单位，7531111iiiiA．0B．2iC．i2D．4i3．已知向量)1,2(a，),1(kb，0)2(baa，则kA．12B．6C．6D．124．已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为A．n∈N，2n≤1000B．n∈N，2n＞1000C．n∈N，2n≤1000D．n∈N，2n＜10005．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为A．2B．4C．8D．166．若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=A．21B．32C．43D．17．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为A．34B．1C．54D．748．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是A．4B．32C．2D．39．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是A．8B．5C．3D．210．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为A．33B．233C．433D．53311．函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为A．（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）12．已知函数)(xf=Atan（x+）（2||,0），y=)(xf的部分图像如下图，则)24(fA．2+3B．3C．33D．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：321.0254.0ˆxy．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．16．已知函数axexfx2)(有零点，则a的取值范围是___________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a．（I）求ba；（II）若c2=b2+3a2，求B．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据nxxx,,,21的的样本方差])()()[(1222212xxxxxxnsn，其中x为样本平均数．20．（本小题满分12分）设函数)(xf=x+ax2+blnx，曲线y=)(xf过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．（I）求a，b的值；（II）证明：)(xf≤2x-2．21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为sincosyx（为参数），曲线C2的参数方程为sincosbyax（0ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=2时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=4时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(xf=|x-2||x-5|．（I）证明：3≤)(xf≤3；（II）求不等式)(xf≥x28x+15的解集．参考答案一、选择题1—5DADAB6—10ACBCC11—12BB二、填空题13．22(2)10xy14．0.25415．—116．(,2ln22]三、解答题17．解：（I）由正弦定理得，22sinsincos2sinABAA，即22sin(sincos)2sinBAAA故sin2sin,2.bBAa所以………………6分（II）由余弦定理和222(13)3,cos.2acbaBc得由（I）知222,ba故22(23).ca可得212cos,cos0,cos,4522BBBB又故所以…………12分18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=22PD，则PQ⊥QD所以PQ⊥平面DCQ.………………6分（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积311.3Va由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为222a，所以棱锥P—DCQ的体积为321.3Va故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.而事件A包含1个基本事件：（1，2）.所以1().6PA………………6分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20．解：（I）()12.bfxaxx…………2分由已知条件得(1)0,10,(1)2.122.fafab即解得1,3.ab………………5分（II）()(0,)fx的定义域为，由（I）知2()3ln.fxxxx设2()()(22)23ln,gxfxxxxx则3(1)(23)()12.xxgxxxx01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).xgxxgxgx当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()22.gxgxfxx故当时即………………12分21．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xybyxCCababaa设直线:(||)lxtta，分别与C1，C2的方程联立，求得2222(,),(,).abAtatBtatba………………4分当13,,,22ABebayy时分别用表示A，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAybBCADya………………6分（II）t=0时的l不符合题意.0t时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN-相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212||,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得BO//AN；当212e时，存在直线l使得BO//AN.………………12分22．解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.…………5分（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆…………10分23．解：（I）C1是圆，C2是椭圆.当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.当2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.（II）C1，C2的普通方程分别为222211.9xxyy和当4时，射线l与C1交点A1的横坐标为22x，与C2交点B1的横坐标为310.10x当4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为(22)()2.25xxxx…………10分24．解：（I）3,2,()|2||5|27,25,3,5.xfxxxxxx当25,3273.xx时所以3()3.fx………………5分（II）由（I）可知，当22,()815xfxxx时的解集为空集；当225,()815{|535}xfxxxxx时的解集为；当25,()815{|56}xfxxxxx时的解集为.综上，不