2011年高考新课标数学文二轮复习作业专题22三角变换与解三角形

页版权所有@中国高考志愿填报门户第2讲三角变换与解三角形1.(2010年东北三校模拟)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()A.103B.53C.23D．－22．已知角2α顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(－12，32)，2α∈[0,2π)，则tanα＝()A．－3B.3C.33D．±333．在△ABC中，A＝60°，b＝5，这个三角形的面积为103，则△ABC外接圆的直径是()A．73B.1433C.733D．1434．(2010年包头市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π],1－cos2x2＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝π2.其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p46．(2010年西安高三质检)已知cosπ－2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα等于()A．－72B.72C.12D．－127．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a＝________.8．设f(x)是以2为周期的奇函数，且f(－25)＝3，若sinα＝55，则f(4cos2α)的值等于________．9．sin40°(tan10°－3)的值为______．10．(2010年河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中，点P(12，cos2θ)在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－12.页版权所有@中国高考志愿填报门户(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．11．在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．12．(2010年高考四川卷)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)已知△ABC的面积S＝12，·＝3，且cosB＝35，求cosC.页版权所有@中国高考志愿填报门户第2讲三角变换与解三角形1．【解析】选A.由3sinα＋cosα＝0知cosα≠0，则tanα＝－13，1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝tan2α＋11＋2tanα＝103.2．【解析】选B.由2α终边在第二象限，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tanα＝3.3．【解析】选B.由于S＝12bc·sinA＝103，即5c·32＝203，得c＝8.又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即得a＝7,2R＝asinA＝1433，故外接圆直径为1433.4．【解析】选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，得a2＋c2－b22ac＝32·cosBsinB，即cosB＝32·cosBsinB，∴sinB＝32.又∵角B在三角形中，∴角B为π3或2π3.故选D.5．【解析】选A.若x＝y＝0，则sin(x－y)＝sinx－siny，即p2为真命题．对任意x∈[0，π],1－cos2x2＝sin2x＝|sinx|＝sinx，则p3为真命题．其中假命题为p1，p4.6．【解析】选D.cosπ－2αsinα－π4＝－cos2αsinα－π4＝sin2α－π2sinα－π4＝2cos(α－π4)＝2cosα＋2sinα＝－22∴sinα＋cosα＝－12，故选D.7．【解析】由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°.从而A＝30°.于是，△ABC是等腰三角形，a＝c＝2.【答案】28．【解析】∵sinα＝55，∴4cos2α＝4(1－2sin2α)＝4×(1－2×15)＝125，∴f(4cos2α)＝f(125)＝f[125＋2×(－1)]＝f(25)＝－f(－25)＝－3.【答案】－39．【解析】原式＝sin40°(sin10°cos10°－3)＝sin40°sin10°－3cos10°cos10°＝2sin40°12sin10°－32cos10°cos10°页版权所有@中国高考志愿填报门户＝2sin40°sin30°sin10°－cos30°cos10°cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°sin80°＝－1.【答案】－110．【解】(1)∵OP→·OQ→＝－12，∴12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，∴cos2θ＝23，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)∵cos2θ＝23，∴sin2θ＝13，∴点P(12，23)，点Q(13，－1)．又点P(12，23)在角α的终边上，∴sinα＝45，cosα＝35.同理sinβ＝－31010，cosβ＝1010，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45×1010＋35×(－31010)＝－1010.11．【解】(1)∵C－A＝π2且C＋A＝π－B，∴A＝π4－B2.∴sinA＝sin(π4－B2)＝22(cosB2－sinB2)．∴sin2A＝12(cosB2－sinB2)2＝12(1－sinB)＝13.又sinA0，∴sinA＝33.(2)由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，∴BC＝AC·sinAsinB＝6·3313＝32.由A＝π4－B2知，A、B均为锐角，由sinB＝13，sinA＝33，得cosB＝223，cosA＝63.又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×223＋63×13＝63，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×6×32×63＝32.12．【解】(1)①证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使α的始边页版权所有@中国高考志愿填报门户为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2.展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.②由①易得，cos(π2－α)＝sinα，sin(π2－α)＝cosα.sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)＋(－β)]＝cos(π2－α)cos(－β)－sin(π2－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝12bcsinA＝12，AB→·AC→＝bccosA＝30，∴A∈(0，π2)，cosA＝3sinA.又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010，cosA＝31010.由cosB＝35，得sinB＝45，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.页版权所有@中国高考志愿填报门户页版权所有@中国高考志愿填报门户w.w.w.k.s.5.u.c.o.m