2011年高考试题分类考点8函数与方程函数模型及其应用

-1-考点8函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2011·福建卷文科·Ｔ6）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）(-1,1)（B）(-2,2)（C）(-∞，-2)∪（2，+∞）（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）【思路点拨】方程x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式240m，由此即可解得m的取值范围.【精讲精析】选C.方程210xmx有两个不相等的实数根，需判别式240m，解得2m或2m.2.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ10）在下列区间中，函数()43xfxex的零点所在的区间为（）（A）1,04（B）10,4（C）11,42（D）13,24【思路点拨】结合函数()fx的单调性，将4个选项中涉及的端点值代入函数()fx的解析式，零点必在使得端点函数值异号的区间内.【精讲精析】选C.()fx是R上的增函数且图象是连续的，又114411()+432044fee，112211()4310,22fee()fx定在11,42内存在零点.3.（2011·山东高考理科·Ｔ10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为（）（A）6（B）7（C）8（D）9【思路点拨】本题可以先求当0≤x＜2时函数的零点，即函数与x轴交点的个数，然后根据周期性确定零点的个数.【精讲精析】选B.令f（x）=x3-x=0，即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1，因为0≤x＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x轴的交点个数为2，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x＜4，4≤x＜6也分别有两个零点，由f（6）=f（4）=f（2）=f（0），所以f（6）也是函数的零点，所以函数y=f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7个.-2-4．（2011·陕西高考理科·T6）函数()cosfxxx在[0,)内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断.【精讲精析】选B.（方法一）数形结合法，令()cosfxxx0，则cosxx，设函数yx和cosyx，它们在[0,)的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数()cosfxxx在[0,)内有且仅有一个零点；（方法二）在[,)2x上，1x，cos1x，所以()cosfxxx0；在(0,]2x上，1()sin02fxxx，所以函数()cosfxxx是增函数，又因为(0)1f，()022f，所以()cosfxxx在[0,)内x有且只有一个零点．5.（2011·浙江高考理科·Ｔ1）设函数2,0,(),0.xxfxxx若4fa，则实数a（）（A）—4或—2（B）—4或2（C）—2或4（D）—2或2【思路点拨】分段函数的给值求解需要逐段来求.【精讲精析】选B.当0a时，()4,4faaa；当0a时，2()4,2faaa.综上,42.a或6.（2011·陕西高考文科·T6）方程cosxx在,内（）-3-(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根(D)有无穷多个根【思路点拨】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，直观判断．【精讲精析】选C.构造两个函数||yx和cosyx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察图象知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．二、填空题7.（2011·浙江高考文科·Ｔ11）设函数4()1fxx,若()2fa,则实数a=__________.【思路点拨】代入求解即可.【精讲精析】4()21faa,解得1a.【答案】18.（2011·福建卷文科·Ｔ16）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________.【思路点拨】（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项2()()()cabcba，将()caxba代入上式，化简整理可得关于x的方程，解方程即可.【精讲精析】由题意得：2()()()cabcba，()caxba，将其代入上式，得2()axbaa＝()()baxbaba222()()(1),,0xbabaxbaba221,+x-1=0xxx即，解得121515,22xx，又01x，15.2x-4-【答案】1529.（2011·山东高考理科·Ｔ16）已知函数fx（）=log(0a1).axxba＞，且当2＜a＜3＜b＜4时，函数fx（）的零点*0(,1),,n=xnnnN则.【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+∞）内为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数()log(23)afxxxba在（0，)上是增函数，(2)log22log230,aafbabb(3)log33log340aafbabb，0(2,3)x即2n.【答案】210.（2011·山东高考文科·Ｔ16）已知函数fx（）=log(0a1).axxba＞，且当2＜a＜3＜b＜4时，函数fx（）的零点*0(,1),,n=xnnnN则.【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数()log(23)afxxxba在（0，)上是增函数，(2)log22log230,aafbabb(3)log33log340aafbabb，0(2,3)x即2n.【答案】211.（2011·北京高考理科·T13）已知函数32,2()(1),2xfxxxx若关于x的方程()fxk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是.【思路点拨】把方程根的问题，转化为函数图象的交点问题.【精讲精析】(0,1).方程()fxk有两个不同的实根，则y=f(x)与y=k有两个不同交点.作出y=f(x)的图象，可知(0,1)k.xy0-1121-5-【答案】(0,1)