2011年高考试题数学理(新课标卷)21解析

优化方案教考资源网欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。12011年高考试题数学理（新课标卷）21解析简介：新课标数学全国卷的21考察函数与导数，是近几年高考难度较大的一道，考察考生函数与导数的有关知识，考察考生的转化能力、分类讨论思想、数型结合思想及其二次函数的有关问题，考察考生综合处理问题的能力，对高考的选拔性功能起到了很好的体现．下面再给出一种解法（21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。分析：新课标数学全国卷的21考察函数与导数，是近几年高考难度较大的一道，考察考生函数与导数的有关知识，考察考生的转化能力、分类讨论思想、数型结合思想及其二次函数的有关问题，考察考生综合处理问题的能力，对高考的选拔性功能起到了很好的体现。解法一原创：（Ⅰ）略（Ⅱ）由（Ⅰ）知2ln1()1xfxxx，所以2211ln1()2ln11kxxkfxxxxxx考虑函数211()2ln(0)kxhxxxx，则22112121()kxxkxxkhxxx(考察分子二次函数的开口方向分类)（ⅰ）设1k（开口向上）.此时()0hx,而(1)0h，故当(1,)x时，()0hx，可得21()01hxx,与题设矛盾。（ⅱ）设1k（开口向下）①当2224(1)0k（即0k）1x时，'()0hx。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；优化方案教考资源网欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。2当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即f（x）1lnxx+xk.②当2224(1)0k（即01k）21210kxxk，2212111111,11kkxxkk又1201xx，所以x（1，2x）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故()0hx,而h（1）=0，故当x（1，2x）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。【或所以x（1x，1）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故()0hx,而h（1）=0，故当x（1x，1）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾】。【或又1201xx，所以x（1，2x）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故()0hx,而h（1）=0，取2xx，2()(1)0hxh，可得2221()01hxx,与题设矛盾】。综合得，k的取值范围为（-，0]解法二原参考答案：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln11xxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。优化方案教考资源网欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。3(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即f（x）1lnxx+xk.（ii）设0k1.由于当x（1，k11）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故h’（x）0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时h’（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]