2011数值分析试题及答案

1总分一二三四五班级学号姓名…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………东北大学研究生院考试试卷2011—2012学年第一学期课程名称：数值分析(共3页)一、解答下列各题：（每题5分，共30分）1.设近似值x具有5位有效数字，则x的相对误差限为多少？解：记maax10....021*，则x的相对误差为：mmaaxxx10....0105.0*215*45105.01.0105.0即，相对误差限为：4105.0.2.问ba,满足什么条件时，矩阵5052024baA有分解式TGGA，并求2ba时的分解式（其中G是对角线元素大于零的下三角形矩阵）.解：由于5052024baA/452/02/21012abba（A对称正定时）所以，当5252ba时有分解式TGGA，2ba时有：520252024A2100210022001200123.解线性方程组392222121xxxx的Jacobi迭代法是否收敛，为什么？解：Jacobi迭代矩阵为：09/220B,所以，13/2)(B所以，Jacobi迭代法是否收敛.4.对方程0)()(23axxf建立Newton迭代格式，并说明此迭代格式是否收敛？若收敛，收敛阶是多少？解：Newton迭代格式为：2316)()(kkkkkkkxaxxxfxfxx，,...2,1,0,66521kxaxxkkk由于迭代函数为：2665)(xaxx，方程根为：3a，所以，121365)(3a，且021)(所以，此迭代格式收敛，收敛阶是1.5.设534)(3xxxf，求差商]4,3,2,1[],1,0[ff和]5,4,3,2,1[f。解：7)5(20101]1,0[）（）（fff4]4,3,2,1[f，0]5,4,3,2,1[f6.设)(2xp是区间]1,0[上权函数为x的二次正交多项式，计算积分1022)(dxxpx.解：1022)(dxxpx102)(dxxpxx0)](,[2xpx2…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………二、解答下列各题：（每题8分，共48分）1.用Gauss-Saidel迭代法求解方程组124.012.03.03132321xxxxxxx，如果取初值Tx)0,0,0(0,试估计迭代10步的误差*10xx.解：由于Gauss-Saidel迭代矩阵为：0004.0002.03.00101010001)(11ULDG2.03.004.0002.03.00所以，5.0G,由于Gauss-Saidel迭代格式为：124.012.03.0)1(1)1(3)(3)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkxxxxxxx，所以，Tx)2,2,1()1(，2)0()1(xx，于是)0()1(10*101xxGGxx00390625.025612125.05.08102．给定离散数据xi－1012yi2－113试求形如2bxay的拟合曲线。解：由于210)(,1)(xxx，所以TT)4,1,0,1(,)1,1,1,1(10,Tf)3,1,1,2(，所以，正则方程组为：15186564baba，所以，6/5,0ba，拟合曲线为：26/5xy3.求满足条件0)1(,0)2(,2)1(,1)0(ffff的三次插值多项式)(3xH的表达式。解：设))(2()(23cbxaxxxH，则有：12c，2cba，0ca，解得：1,2/1bca，所以，)23(21)12)(2(21)(323xxxxxxH。4．确定求积公式)1()0()1(21)(2111fAfAfdxxf中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.解：令公式对xxf,1)(都精确成立，得：2/1,2/3221AAA,所以，2/1,121AA时，公式)1(21)0()1(21)(11fffdxxf代数精度最高.又由于公式对2)(xxf不能精确成立，所以，代数精度为1，不是插值型求积公式。5.利用复化Simpson公式2S计算定积分0sinxdxI的近似值，并估计误差。解：00456.2)221(6]43sin44sin42sin2sin0[sin122SI由于xxfsin)(的4阶导数在],0[上的最大值为：14M,所以误差为：445222880||MSI＝0.0066416．求解初值问题1)0(20,)2sin(yxyxy的改进Euler方法是否收敛？为什么？解：由于|)2sin()2sin(|yxyx|))(2(cos2|yyx||2yy即，函数)2sin(),(yxyxf连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改进Euler方法收敛。3…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………三、（9分）说明方程02sin2xx在区间]2,21[内有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]2,21[0x都收敛，说明收敛理由和收敛阶。解：记2sin2)(xxxf，则]2,21[)(Cxf,且0)2(,0)21(ff，而且，0cos2)(xxf，所以，方程02sin2xx在区间]2,21[内有唯一根。建立迭代格式：,...2,1,0,1sin211kxxkk由于，迭代函数1sin21)xx（在区间]2,21[上满足条件：223)(121x，121|cos21||)(|xx所以，此迭代格式对任意初值]2,21[0x都收敛。又由于，0cos21)(，所以，此迭代格式1阶收敛。四、（9分）已知求解常微分方程初值问题：],[,)(),(baxayyxfy的差分公式：01)),(2,2(yyxfhyhxhfyynnnnnn求此差分公式的阶。解：由于)()2(8)(24222222321hOfyffyxfxfhfyfxfhhfyynnnnnnnnn)()((6)(2)()()(4321hOxyhxyhxyhxyxynnnnn)()(6)(2432hOxyhfyfxfhhfynnnnnn所以，)()(311hOyxynn所以，此差分公式是2阶方法。五、（4分）设矩阵M是n阶方阵，M有一个绝对值小于1的特征值，且方程组gMxx有唯一解*x，证明：存在初始向量)0(x使迭代格式：,...2,1,0,)()1(kgMxxkk产生的序列}{)(kx收敛到*x.解：由gMxxkk)()1(和gMxx**可得：,...2,1,0,)(*)(*)1(kxxMxxkk递推的：)(*)0(*)(xxMxxkk设y是矩阵M属于特征值的特征向量，取*)0(xyx，则有：yyMxxkkk*)(，于是有：yxxkk*)(所以，0lim*)(xxkk，即序列}{)(kx收敛到*x.