2011新课标高考数学(理)一轮复习讲义(带详细解析)第一编集合与常用逻辑用语

书利华教育网第一编集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念及其基本运算一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·海南)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁NB＝____________.解析∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，∴∁NB＝{1,2,4,5,7,8，…}．∴A∩∁NB＝{1,5,7}．答案{1,5,7}2．(2010·南京模拟)已知集合M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2(x－3)}，那么M∩P＝________.解析由M：x＝y2－1≥－1，即M＝{x|x≥－1}，由P：x＝－12y2＋3≤3，即P＝{x|x≤3}，所以M∩P＝{x|－1≤x≤3}．答案{x|－1≤x≤3}3．(2009·陕西改编)若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为________．解析不等式x2－x≤0的解集M＝{x|0≤x≤1}，f(x)＝ln(1－|x|)的定义域N＝{x|－1x1}，则M∩N＝{x|0≤x1}．答案[0,1)4．(2010·苏州模拟)已知全集U＝R，M＝{x|y＝x－1}，P＝{x|y＝log12x，y∈M}，则(∁UM)∩(∁UP)＝________________.解析∵M是y＝x－1的定义域，即M＝{x|x≥1}，∴∁UM＝{x|x1}．∵P是值域为M时，y＝log12x的定义域，则P＝{x|0x≤12}，∴∁UP＝{x|x≤0或x12}，∴(∁UM)∩(∁UP)＝{x|x≤0或12x1}．答案{x|x≤0或12x1}5．(2010·常州模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，N＝{x|x＋1x－2≥0}，则∁U(M∩N)＝________.解析因为M＝{x|x≥1}，N＝{x|x2或x≤－1}，则M∩N＝{x|x2}，所以∁U(M∩N)＝{x|x≤2}．答案{x|x≤2}书利华教育网．(2009·珠海模拟)已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U(A∪B)中有x个元素，则x的取值范围是________．解析因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U(A∪B)中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U(A∪B)中有8个元素，即3≤x≤8且x为整数．答案3≤x≤8且x为整数7．(2010·淮安模拟)对于任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M，x∉N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝____________.解析因为M＝[0，＋∞)，N＝[－3,3]，所以M－N＝(3，＋∞)，N－M＝[－3,0)，所以M*N＝[－3,0)∪(3，＋∞)．答案[－3,0)∪(3，＋∞)8．(2010·南通模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＋2ny＋n2－4＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x2＋y2－6mx－4ny＋9m2＋4n2－9＝0，x，y∈R}，若A∩B为单元素集，则点P(m，n)构成的集合为________________．解析因为A∩B为单元素集，即圆x2＋(y＋n)2＝4与圆(x－3m)2＋(y－2n)2＝9相切，此(3m)2＋(n＋2n)2＝3＋2或(3m)2＋(n＋2n)2＝3－2，即m2＋n2＝259或m2＋n2＝19.答案{(m，n)|m2＋n2＝259或m2＋n2＝19}9．(2010·盐城模拟)设全集U＝R，A＝{x|x－1x＋m0}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________.解析由∁UA＝[－1，－n]，知A＝(－∞，－1)∪(－n，＋∞)，即不等式x－1x＋m0的解集为(－∞，－1)∪(－n，＋∞)，所以－n＝1，－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，所以m2＋n2＝2.答案2二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·盐城模拟)已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2x＋1≤4}，设集合C＝{x|x2＋bx＋c0}，且满足(A∪B)∩C＝∅，(A∪B)∪C＝R，求实数b，c的值．解因为A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|1x≤3}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}，又因为(A∪B)∩C＝∅，(A∪B)∪C＝R，所以C＝{x|x3或x－2}，则不等式x2＋bx＋c0的解集为{x|x3或x－2}，即方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，则b＝－(3－2)＝－1，c＝3×(－2)＝－6.11．(16分)(2010·扬州模拟)设A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∪B＝A∩B，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，且A∩C＝∅，求实数a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值．解(1)因为A∪B＝A∩B，所以A＝B，又因为B＝{2,3}，则a＝5且a2－19＝6同时成立，所以a＝5.(2)因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B≠∅，A∩C＝∅，则只有3∈A，即a2－3a－10＝0，即a＝5或a＝－2，由(1)可知，当a＝5时，A＝B＝{2,3}，此时A∩C≠∅，与已知矛盾，所以a＝5舍去，故a＝－2.(3)因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B＝A∩C≠∅，此时只有2∈A，即a2－2a－15＝0，得a＝5或a＝－3，书利华教育网由(1)可知，当a＝5时不合题意，故a＝－3.12．(16分)(2010·绍兴模拟)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A＝{(an，Snn)|n∈N*}，B＝{(x，y)|14x2－y2＝1，x，y∈R}．试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A∩B至多有一个元素；(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠∅.解(1)在等差数列{an}中，对一切n∈N*，有Sn＝n(a1＋an)2，则Snn＝n(a1＋an)2n＝12(a1＋an)，这表明点(an，Snn)适合方程y＝12(x＋a1)，于是点(an，Snn)均在直线y＝12x＋12a1上．(2)设(x，y)∈A∩B，则x，y是方程组y＝12x＋12a114x2－y2＝1的解，由方程组消去y得2a1x＋a21＝－4，当a1＝0时，方程2a1x＋a21＝－4无解，此时A∩B＝∅；当a1≠0时，方程2a1x＋a21＝－4只有一个解x＝－4－a212a1，此时，方程组只有一解，故上述方程组至多有解x＝－4－a212a1y＝a21－44a1，所以A∩B至多有一个元素．(3)取a1＝1，d＝1，对一切的n∈N*，有an＝a1＋(n－1)d＝n0，Snn0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1＝1≠0，如果A∩B≠∅，那么根据(2)的结论，A∩B至多有一个元素(x0，y0)，而x0＝－4－a212a1＝－520，y0＝a21－44a1＝－340，这样的(x0，y0)∉A，产生矛盾，故a1＝1，d＝1时，A∩B＝∅，所以，当a1≠0时，一定有A∩B≠∅是不正确的．§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2008·湖北理，2)若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是________(填序号)．①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件书利华教育网③“x∈C”是“x∈A”的充要条件④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件解析由题意知，A、B、C的关系用图来表示．若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A，则必有x∈C，因此“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．答案②2．(2009·重庆改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案若一个数的平方是正数，则它是负数3．(2009·苏州调研)命题“若ab，则ac2bc2(a，b∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________个．解析若ab，c2＝0，则ac2＝bc2.∴原命题为假．若ac2bc2，则c2≠0且c20，则ab.∴逆命题为真．又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真．又∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题为假．答案24．(2009·天津改编)设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的____________条件．解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.答案充分不必要5．(2010·徐州模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是__________________．解析命题p等价于Δ＝a2－16≥0，∴a≤－4或a≥4；命题q等价于－a4≤3，∴a≥－12.p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．∴实数a的取值范围为(－4,4)∪(－∞，－12)．答案(－4,4)∪(－∞，－12)6．(2009·安徽改编)“a＋cb＋d”是“ab且cd”的____________条件．解析由于ab，且cd⇒a＋cb＋d，而a＋cb＋dD⇒/ab且cd，所以“a＋cb＋d”是“ab且cd”的必要不充分条件．答案必要不充分7．(2010·青岛模拟)“a0”是方程“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的____________条件．解析当a0时，Δ＝4－4a0，由韦达定理知x1·x2＝1a0，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a0”是方程“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．答案充分不必要8．(2009·广东汕头二模)已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，则a的取值范围是______________________.解析由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－2a或x＝1a.∵x∈[－1,1]，故|－2a|≤1或|1a|≤1，书利华教育网∴|a|≥1.只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1a0或0a1}．答案－1a0或0a19．(2010·山东聊城模拟)设f(x)＝x3＋log3(