高中数学必修5--第一、二章复习知识点总结与练习

1高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).2.正弦定理的一些变式：sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；（4）RCBAcba2sinsinsin3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）4.在ABC中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解【余弦定理】1．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC2.推论：222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.2（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）2.设)(21cbap,))()((cpbpappS(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）CBA(2)sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC2cos2sinCBA,2sin2cosCBA;AAAcossin22sin,（3）若CBAcbaCBAsinsinsin若CBAsinsinsincbaCBA（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是60B.(8)ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形（注意：是锐角AABC是锐角三角形）(3)若BA2sin2sin，则A=B或2BA.例1.在ABC中，Abccos2，且abcbacba3))((，试判断ABC形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.题型4【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角数列知识点总结一、数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数(2)数列可以看作是项数n的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。二、数列的分类：1、按项数分类：有穷数列无穷数列2、按增减性分类：递增数列——对于任何nN+，具有1anna递减数列——对于任何nN+，具有1anna摆动数列常数数列3、按是否有界分类：有界数列——MN+，使naM无界数列——MN+，总有naM三、数列的表示法1、解析法（公式法）通项公式或递推公式2、列表法：3、图象法:数列可用一群孤立的点表示四、通项公式五、数列的前n项和六、递推公式七、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义1na-na=dnnaa1=q(q0)通项公式na=1a+（n-1）dna=1a1nq(q0)递推公式na=1na+d,na=ma+(n-m)dna=1naqna=mamnq中项A=2ba推广：A=2aknkna（n,kN+;nk0）abG2。推广：G=knknaa（n,kN+;nk0）。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个4前n项和nS=2n（1a+na）nS=n1a+2)1(nndnS=qqan11()1nS=qqaan11性质（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）（6）d=nmanma(mn)(7)d0递增数列d0递减数列d=0常数数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1且为常数qnqaann②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)①③nncqa(qc,为非零常数).④正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}（1x）成等比数列.九、求数列通项公式的方法1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。例1、分别写出下面数列{na}的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数。（１）１，３，５，７，…，(２)１,２,１,２,…,(３)２,２２,２２２,２２２２,…,2、通项公式法53、涉及前ｎ项和Sn求通项公式，利用an与Sn的基本关系式来求。即)2()1(111nssnasannn例２、在数列｛an｝中，Sn表示其前ｎ项和，且Sn=n2,求通项an.ａｎ＝２ｎ－１(ｎ≥１).例３、在数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ表示其前ｎ项和，且Ｓｎ＝２－３ａｎ,求通项ａｎ.4、已知递推公式（初始条件与递推关系），求通项公式。（１）待定系数法。若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ,ａｎ＋１＝Ｂａｎ＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均为常数，Ｂ≠１,Ｃ≠０)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。例４、已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝４,ａｎ＝３ａｎ－１－２,求通项ａｎ.（２）逐差相加法。若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ(Ａ为常数)，an+1=an+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。例５、在数列{an}中，a1=3,an+1=an+2n,求通项an.（3）逐比连乘法。若题目特征符合递推关系式a1=A（A为常数）,an+1=f(n)·an时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。例6、在数列{an}中，a1=3,an+1=an·2n,求通项an.（4）倒数法。若题目特征符合递推关系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。例7、在数列{an}中，已知a1=1,an+1=,求数列的通项an.（5）归纳法。这是一种通过计算、观察、归纳规律，进而猜想、验证（证明）的思维方法，是一种普遍适用的方法。在前面所有的问题中，只要转化为递推公式，就可以由初始条件逐次代入递推关系，观察计算结果，直到看出规律为止。例9、在数列{an}中，a1=3,an+1=an2,求数列的通项公式an.十、求数列的前n项和的方法1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{}na、{}nb分别是等差数列和等比数列.3、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：6、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的6和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.7、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.十一、在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用十二、等比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1.其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12rraarararaann⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元.因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112rararara=)1(1])1(1)[1(12rrra.⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.1111111......11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra