161视角在测量中的应用

第一章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数的测高第1课时视角在测量中的应用1课堂讲解仰角的应用俯角的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．定义：要点精析：观察视线与水平线的位置关系是区分仰角和俯角的关键，计算时我们可以作铅垂线，将仰角和俯角放在直角三角形中再解题．例1如图小山岗的斜坡AC的坡度是坡角为α，在与山脚C距离200m的点D处测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高．(结果精确到1m，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)知1－讲（来自《点拨》）34，1知识点仰角的应用知1－讲（来自《点拨》）设小山岗的高为xm，由题意得tanα＝又在Rt△ABD中，tan26.6°＝而BD＝BC＋CD，由此可得关于x的方程，从而解得AB的长．3.4ABBC=导引：,ABBD知1－讲（来自《点拨》）设小山岗的高为xm，在Rt△ABC中，由题意得tanα＝∴BC＝∴BD＝DC＋BC＝在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan26.6°＝∴解得x≈300，即小山岗的高约为300m.解：3,4ABxBCBC==4m.3x4200m.3x骣÷ç+÷ç÷ç桫,ABBD0.50.42003xx»+总结知1－讲（来自《点拨》）与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法：首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量．例2如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在N处看塔顶，仰角为60°.乙：我站在M处看塔顶，仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5m.乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1m)．知1－讲（来自《点拨》）知1－讲（来自《点拨》）由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20m，AM＝BN＝DP＝1.5m．在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，∴∠ACB＝60°－30°＝30°.∴∠ACB＝∠CAB.∴BC＝AB＝20m．在Rt△CBD中，BC＝20m，∠CBD＝60°，sin∠CBD＝∴CD＝BC·sin∠CBD＝20sin60°＝20×(m)．∴CP＝CD＋DP＝10＋1.5≈19(m)．答：白塔的高度约为19m.解：,CDBC31032=3总结知1－讲（来自《点拨》）从不同位置看同一点测高度时，往往用高度来表示这两个不同位置到被测物底部的距离．然后利用两次测量的不同位置之间的距离来解决问题．1(2015·长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()A.mB．30sinαmC．30tanαmD．30cosαm知1－练（来自《典中点》）30tan2(2015·聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50m的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD的高度为1m，则桥塔AB的高度约为()(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34mB．38mC．45mD．50m知1－练（来自《典中点》）3(2015·衡阳)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为()A．50mB．51mC．(50＋1)mD．101m知1－练（来自《典中点》）332知识点俯角的应用知2－讲例3〈青岛〉小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图所示．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700)知2－讲过点A作AD⊥BC于点D，热气球离地面的高度即为AD的长．利用BC长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构造出Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，BC＝100m.设AD＝xm，则BD＝AD＝xm，CD＝m.∵BC＝CD－BD，∴－x＝100.∴x≈233.答：热气球离地面的高度约为233m.导引：解：tan35xtan35x总结知2－讲（来自《点拨》）从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用不同位置之间的距离列方程来解决问题．1(2015·哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为()A．1200mB．1200mC．1200mD．2400m知2－练（来自《典中点》）23知2－练（来自《典中点》）2(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为()A．160mB．120mC．300mD．160m332知2－练（来自《典中点》）3(2015·潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°(如图)．已知楼房高AB是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是________．解答含有仰角、俯角问题的方法：(1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．1.必做：完成教材复习题P25T10、11，P26T16、172.补充:请完成《典中点》剩余部分习题