16三角函数模型的简单应用

1．6三角函数模型的简单应用吕许凤一、学习导航实例――→了解日常生活中常见的三角函数模型――→掌握由三角函数模型解决问题重点难点重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些实际问题抽象转化为三角函数模型．二、导三、思议展评1、弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：h＝3sin(2t＋π4)．(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；(3)经过多长时间小球往返振动一次？2、某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.03、根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?【解】(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为(0，322)．(2)由题意知，当h＝3时，t＝π8，即最高点为(π8，3)；当h＝－3时，t＝5π8，即最低点为(5π8，－3)．(3)T＝2π2＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．2【解】(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3.于是所求的函数表达式为y＝3sinπ6t＋10.(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7＋4.5＝11.5(米)．令y＝3sinπ6t＋10≥11.5，可得sinπ6t≥12.∴2kπ＋π6≤π6t≤2kπ＋5π6(k∈Z)．∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17.而取k＝2时，则25≤t≤29(不合题意)．从而可知船舶在凌晨1点到5点，下午的13点到17点都可以安全进港．船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港，而下午的17点(即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时．【解】(1)设振幅为A，则2A＝20cm，所以A＝10cm，3分设周期为T，则T2＝0.5s，周期T＝1s，5分频率f＝1Hz.6分(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，8分故在5s内通过的路程为s＝5×4A＝，10分5s末振子在B点或C点，相对于平衡位置的位移为5cm或－.12分四、检1．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示．求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间2．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(π8x－5π4)＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内的温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？五、学有所获