16力矩分配法.

第十六章力矩分配法第十六章力矩分配法16.1力矩分配法的基本原理16.2多结点的力矩分配法返回力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法。它们都要建立和求解联立方程，当基本未知量较多时，手算工作十分繁重。本章介绍的力矩分配法属于渐近解法，它的特点是不需建立和解算联立方程，直接分析结构的受力情况，从开始的近似状态，逐步修正，最后收敛于真实解，直接算得杆端弯矩值。16.3多层多跨刚架的近似计算第十六章力矩分配法第十六章力矩分配法返回【学习要求】1.了解转动刚度、分配弯矩和传递弯矩等概念，掌握力矩分配法的基本原理。2.熟练掌握用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架的内力。3.掌握用分层法和反弯点法对多层多跨刚架进行近似计算。目录16.1力矩分配法的基本原理16.1.1力矩分配法的解题思路第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理以具有一个刚结点的刚架图a为例说明其解题思路。当不考虑杆件轴向变形时，在荷载作用下刚结点1处不产生线位移，只产生一个角位移Z1。第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理目录刚架中各杆的杆端弯矩值可看成是由两种因素引起的，一种是刚结点处不产生角位移，只由荷载引起的杆端弯矩值，即相当于结点1处附加刚臂，以约束转动时，荷载引起的杆端弯矩值，如图b所示，我们称其为固定状态。R1F于是我们可以分别对固定状态和放松状态进行算，再把算得的各杆杆端弯矩值对应叠加，即得到原刚架各杆的杆端弯矩值。另一种是刚结点产生Z1角位移所引起的杆端弯矩值，即相当于在结点1处施加一力矩，使结点1转动Z1角时的杆端弯矩值，如图c所示，我们称其为放松状态。第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理目录M1=R1F目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理16.1.2力矩分配法的基本运算1．固端弯矩我们先对固定状态图b进行计算。在此状态中刚结点不产生角位移，故此情况下荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩，以表示。刚架的固端弯矩值同位移法计算一样，可根据荷载情况及杆两端约束情况从表15.1中查出，然后利用图d中结点1的力矩平衡条件可以求得1点约束力矩。即FijMR1F上式表明，约束力矩等于汇交于该结点的各杆固端弯矩的代数和，以顺时针转向为正。汇交于结点的各杆的固端弯矩不能平衡，其离平衡所差的力矩值正好等于约束力矩，故也称为不平衡力矩。第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理目录F14F13F12F1MMMRFFijiMR写成一般式为FiRFiRFiR现在对放松状态图c进行计算。此状态中，在结点1的力矩M1的作用下，各杆1端都产生了Z1角位移，由表15.1，各杆1端的杆端弯矩为第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理2.力矩分配系数和分配弯矩11411414113113131121121234ZSZiMZSZiMZSZiM式中，S1j（j=2，3，4）——杆件在1端的转动刚度。（a）目录转动刚度SAB是指杆件AB在A端产生单位角位移时，在A端所需施加的力矩值。其中转动端（A端）又称为近端，不转动端（B端）又称为远端。下图给出了等截面的直杆远端为不同约束时的转动刚度。目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理（f）1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0ABBAABBA目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理由结点1的平衡条件(图e)，有)1(11ijSMZ——汇交于结点1的各杆1端转动刚度之和。)1(ijS式中：故S12Z1＋S13Z1＋S14Z1=M1或M12＋M13＋M14=M1第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理目录将Z1代入式（a），得)()()(F1)1(141)1(1414F1)1(131)1(1313F1)1(121)1(1212RSSMSSMRSSMSSMRSSMSSMijijijijijij（b）目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理iiijijijMSSM)()(iijijijSS由此可见，各杆1端的弯矩与各杆1端转动刚度成正比。式（b）可写为（c）（d）则式（c）可表示为Mij=ijMi令式中：ij——力矩分配系数。显然，同一结点各杆力矩分配系数之和应等于1，即∑ij=1目录iijijMM利用上式计算各杆近端分配弯矩的过程，又称为力矩分配。为了区别由其他运算得到的杆端弯矩值，把由式（d）算得的杆端弯矩以M表示，称为分配弯矩。即第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理等直杆ij，当i端转动时，杆ij变形，从而使远端j也产生一定弯矩。在放松状态中，通过力矩分配运算，各杆的近端弯矩已经得出，现在考虑远端弯矩的计算。杆的远端弯矩与近端弯矩的比值，称为由近端向远端传递弯矩的传递系数。即ijjiijMMC3．传递系数和传递弯矩目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理当远端取不同约束时，由上图可知其传递系数为远端固定Cij=1/2远端铰支Cij=0远端定向支承Cij=－11SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=02i－i0C=1/2C=－1C=00目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理ijijjiMCMijijCjiMCM利用传递系数的概念，各杆的远端弯矩为（e）CjiM为了区别由其他运算得到的杆端弯矩值，把由式（e）算得的杆端弯矩以表示，称为传递弯矩。即利用上式计算各杆远端传递弯矩的过程称为力矩传递。综合以上运算过程，把固定状态下各杆固端弯矩与放松状态中对应各杆的分配弯矩值及传递弯矩值相叠加，就得到各杆的杆端最后弯矩值，据此可绘出弯矩图。这种计算方法称为力矩分配法。目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理4）叠加计算各杆端最后弯矩。将各杆固端弯矩与对应的分配弯矩或传递弯矩叠加，便得到各杆端最后弯矩。即。5）绘制原结构的内力图。CijijijijMMMMF单结点力矩分配法的计算步骤可归纳如下：)(iijijijSS1）由式计算结点处各杆的力矩分配系数ij（可由∑ij=1验算）。FijMFiMFijM2）固定结点。查表15.1算得各杆固端弯矩，计算不平衡力矩=∑。FiMijMijijCjiMCMCjiM3）放松结点。相当于在结点处施加一转动力矩。由式=ijMi计算分配弯矩，由式计算传递弯矩。16.1.2单结点的力矩分配法目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理【例16.1】试用力矩分配法计算图a所示两跨连续梁，并绘制弯矩图。【解】1）计算力矩分配系数。EIEIiSBCBC5.142334.0BCBABABASSS6.0BCBABCBCSSSEIEIiSBABA444目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理2）计算固端弯矩和不平衡力矩mkN608m4kN120FABMmkN608m4kN120FBAMmkN308m)4(kN/m152FBCMmkN30FFFBCBABMMR目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理3）计算分配弯矩。mkN12)mkN30(4.0)(FBBABARMmkN18)mkN30(6.0)(FBBCBCRM4）计算传递弯矩。mkN6)mkN12(21BAABCABMCM0BCBCCCBMCM5）计算杆端最后弯矩。mkN66mkN6mkN60FCABABABMMMmkN48mkN12mkN60μFBABABAMMMmkN48mkN18mkN30μFBCBCBCMMMMCB=0目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理以上计算过程也可列表进行（见下面算表）。（b）（b）M图(kN·m)6）绘M图。根据杆端最后弯矩值，绘出M图如图b所示。目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理【例16.2】试用力矩分配法计算图a所示刚架，并绘制弯矩图。已知各杆弯曲刚度EI为常数。则有14EI429.0433BA571.0434BCBD=0【解】1）计算力矩分配系数。令SBD=0SBC=4×1=4SBA=3×1=3目录第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理2）计算固端弯矩和不平衡力矩。m40kN(4m)20kN/m812FBAMmkN1002m50kNFBDM0FBCMmkN60mkN40mkN100FFFBABDBMMR3）力矩分配与力矩传递计算列表进行（见下面算表）。第十六章力矩分配法\力矩分配法的基本原理目录4）根据杆端最后弯矩绘出M图如图b所示。（b）M图(kN·m)目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法16.2多结点的力矩分配法连续梁在中间跨受集中荷载作用，其变形曲线的实际情况如图a的虚线所示。为计算梁的弯矩，可按以下步骤进行。第一步，在结点B、C处加刚臂约束转动。然后再加荷载F，结点B、C的不平衡力矩分为、。此时，仅在荷载作用跨有变形如图b所示。FCRFBR目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法第二步，松开B点的约束刚臂（C点约束刚臂仍夹紧），B点产生一个角位移，如图c所示。同时消除了B点的不平衡力矩，即将反号进行力矩分配、传递。这时C结点上的不平衡力矩又新增加了，它等于B点力矩分配时传递来的传递力矩。FBRFBRCCBM/FCR目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法/FFCCRR/FBRCBCM第三步，重新约束B点，然后松开C点的约束刚臂，C点产生一个角位移，如图d所示。同时将C点的不平衡力矩反号进行力矩分配、传递。这时B结点又重新产生了一个不平衡力矩，它等于C点放松时传递过来的传递力矩。目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法至此，完成了第一轮计算。连续梁变形曲线和杆端弯矩已比较接近实际情况，为了进一步消除不平衡力矩，可重复第二步和第三步，进行第二轮计算。依次类推，经过几轮计算后，直到各点不平衡力矩很小时，就可停止力矩分配、传递。FijMijMCijM第四步，把以上计算过程中各杆杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，就得到该杆端弯矩的最后值。由上可见，对于具有多个刚结点的连续梁和无侧移的刚架，用力矩分配法得到的结果是渐近解，因而该法属于渐近法。为了使计算的收敛速度较快，通常可从不平衡力矩较大的刚结点开始计算。目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法【例16.3】试用力矩分配法计算图a所示连续梁，并绘制弯矩图。已知各杆弯曲刚度EI为常数。【解】1）计算力矩分配系数。2）计算固端弯矩。3）放松结点C，固定结点B（因C结点的不平衡力矩较大），进行力矩分配和传递。4）固定结点C，放松结点B，进行力矩分配和传递。目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法5）将固端弯矩与各轮计算中的分配弯矩、传递弯矩叠加得杆端最后弯矩Mij。计算过程见FijMijMCijM6）由各杆端最后弯矩绘出M图，如图b所示。例16.3算表70.84101.61目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法【例16.4】试用力矩分配法计算图a所示连续梁，并绘制弯矩图。已知各杆弯曲刚度EI为常数。【解】连续梁具有伸臂部分EF，EF为静定部分，其内力可由平衡条件求得。为了计算简便，可将该部分对梁的作用等效替换到E点，并将E点变为铰支座如图b所示，以此代替原结构进行计算。1）计算力矩分配系数。2）计算固端弯矩。目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法3）力矩分配和传递。为了使计算的收敛速度快一些，当结点数多于两个时，放松过程可分两组进行。第一组为结点B和结点D同时放松，结点C固定。第二组为结点C放松，同时固定B、D两点。计算过程见例16.4算表4）由杆端最后弯矩绘出M图，如图c所示。目录第十六章力矩分配法\多结点的力矩分配法【例16.5】试用力矩分配法计算图a所示两层单跨刚架，并绘制弯矩图。【解】利用对称性，取图b所示半刚架进行