2011高考数学总复习计数原理与排列组合课件

计数原理与排列组合2011高考导航考纲解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.理解排列、组合的概念．3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．4.能解决简单的实际问题．2011高考导航命题探究1.计数原理内容考查比较稳定，试题难度起伏不大；排列组合题目一般为选择、填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题与教材习题的难度相当，但也有个别题难度较大。2．考查热点为排列组合与两个计数原理结合命题。基本原理组合排列排列数公式组合数公式应用问题1、知识结构一。复习回顾2。分类记数原理，分步记数原理分类记数原理分步记数原理原理完成一件事可以有n类办法，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共N=m1+m2+……+mn有种不同的方法。完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共N=m1×m2×……×mn有种不同的方法。区别分类记数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可完成这件事。分步记数原理针对的是“分步”问题，各步方法相互依存，只有各步都完成才能完成这件事。排列组合定义从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列。从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个不同的元素的一个组合。区别与顺序有关与顺序无关判定看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。公式)1()2)(1(mnnnnAmn)!(!mnn!)1()2)(1(mmnnnnmnC!!!mmnn3。排列与组合4。解排列组合问题基本思路排列组合问题有序无序排列组合分类或分步分类或分步直接法直接法间接法不易解不易解5。解排列组合问题的常见方法（1）特殊元素（位置）优先安排。（2）多个限定条件或含“至多”、“至少”问题，合理分类合理分步。（3）排列组合混合问题一般要先组合后排列，先整体后局部。（4）正难则反，等价转化。（5）相邻问题，捆绑法。（6）不相邻问题，插空法。（7）定序问题、平均分组问题用除法。（8）相同物品分配问题、名额分配问题用隔板法。（9）数的大小排列问题，查字典法。（10）可重复元素排列问题，住店法.基础知识梳理二、题型与方法【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？题型1涂色问题解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．2011高考导航解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有＝120种涂法；第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区域，共＝60种涂法．由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．方法总结：对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.法2根据用色多少分类法.变式1如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)答案：72题型2可重复元素排列问题【例2】若A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{b1，b2，b3}．试问从A到B可建立多少种不同的映射？解答：（住店法）完成建立一个从A到B的映射需要分成四步，第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法；第二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法；第三步：a3与B中唯一的元素对应有3种方法；第四步：a4与B中唯一的元素对应有3种方法．由分步计数原理，可建立从A到B的映射共有34＝81(个)．方法小节：解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。变式2.1.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).2.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种．(以数字作答)解析：3×2×2×2×2－×2＝42.答案：42题型3在与不在的排序问题常见的排列问题有三种：(1)排队；(2)排数；(3)排课程表．对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要是：(1)位置优先法；(2)元素优先法；(3)间接计算法．【例3】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数．(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不邻)．解答：(1)（①直接法）分为两类，第一类甲排在排尾共有＝6种排法，第二类，若甲在排尾共有＝8种排法，由分类计数原理知共有：＋＝14(种)．②也可间接计算：＝14(种)．（2）（树图法）位置1乙丙丁2甲丁丙甲丁甲丙3丁甲丁丁乙甲乙乙甲4丙丙甲乙甲乙丙甲乙由树图可知有9种不同排法.（3）可先排丙、丁有种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有·1＝12(种)．或看作定序问题＝12.方法总结(2).位置分析法,在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。(3).间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。(1).元素分析法,在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。(4)树图法又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。是解决多个限定条件的排列组合问题的常用法.(5)消序法，定序问题、部分相同元素排列问题、平均分组问题常用此法，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。。变式3.(1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种(2)安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是________．(用数字作答)解析：(1)＝240.(2)答案：(1)B(2)78题型4排列中的“相邻”、“不相邻问题”【例4】a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列条件的排列数．(1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一起；(2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相邻；(3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻；(4)排成前后两排每排四个元素．解答：(1)（捆绑法）先将a1，a2，a3，a4四个元素看成一个元素与a5，a6，a7，a8排列一排，有种排法，再排a1，a2，a3，a4有不同排法，根据分步计数原理知满足条件的排列数为＝2880.55A44A55A44A(2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四个元素排成一排，有种排法；再将元素a1，a2，a3，a4插入由a5，a6，a7，a8间隔及两端的五个位置中的四个，有种排法，根据分步计数原理知：满足条件的排列数为＝2880.44A45A44A45A(3)先排a5，a6，a7，a8，××××；共有种排法；然后排a1，a2，a3，a4排在×□×□×□×□或□×□×□×□×中的□共有2种排法；；根据分步计数原理共有×2＝1152种排法．(4)前排有种排法，后排有种排法，由分步计数原理知共有＝8！种排法．44A44A44A44A48A44A44A48A方法总结（1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。(3)前后排问题，直排法.变式44个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法，由分步计数的原理,有＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有种方案，故符合条件的排法共有＝1440种不同排法．55A(3)甲、乙2人先排好，有种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙2人中间，有种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的2人再排，又有种排法，这样总共有＝720种不同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有种排法．这样，总共有＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有＝840种不同排法.题型5组合问题【例5】7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：(1)每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)某些盒子可空的放法共有多少种？解析（1）将7个相同小球，放入4个不同盒子，每个盒子不空，即相当于把7个相同小球分成4组，每组都有小球，一种分法对应一种放法，先将7个小球排成一排有1种排法，在小球的中间的6个空挡中选3个放入隔板，有放法，故满足条件放法共有种.36C(2)将7个相同小球，放入4个不同盒子，某些盒子可空，即相当于把7个相同小球分成4组，某些小组可以没小球，需要3个隔板，一种分法对应一种放法，先将7个小球与3个隔板所在位置排成一排有1种排法，再在这10个位置中选3个放入隔板其余放小球，有放法，故满足条件放法共有种.310C310C36C隔板法，又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有种分法。11mnC若允许有人分不到物品，则先把n件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有种分法。11mmnC11mmnC变式3.(1)计算x＋y＋