1997考研数学一真题及答案详解

11997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)2013sincoslim(1cos)ln(1)xxxxxx.(2)设幂级数0nnnax的收敛半径为3,则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为.(3)对数螺线e在点2(,)(,)2e处的切线的直角坐标方程为.(4)设12243311At,B为三阶非零矩阵,且0AB,则t=.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)xyxyxyfxyxy在点(0,0)处()(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]ab上()0,()0,()0,fxfxfx令12(),()()baSfxdxSfbba,31[()()]()2Sfafbba,则()(A)123SSS(B)213SSS(C)312SSS(D)231SSS(3)2sin()sin,xtxFxetdt设则()Fx()(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,abcabcabc则三条直线1110axbyc,2220axbyc,23330axbyc(其中220,1,2,3iiabi)交于一点的充要条件是()(A)123,,线性相关(B)123,,线性无关(C)秩123(,,)r秩12(,)r(D)123,,线性相关,12,线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量32XY的方差是()(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)计算22(),IxydV其中为平面曲线22,0yzx绕z轴旋转一周形成的曲面与平面8z所围成的区域.(2)计算曲线积分()()()Czydxxzdyxydz,其中C是曲线221,2,xyxyz从z轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N,在0t时刻已掌握新技术的人数为0x,在任意时刻t已掌握新技术的人数为()xt(将()xt视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k求()xt.四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)设直线0,:30xybLxayz在平面上,且平面与曲面22zxy相切于点(1,2,5),求,ab之值.(2)设函数()fu具有二阶连续导数,而(sin)xzfey满足方程22222xzzezxy,求()fu.五、(本题满分6分)3设()fx连续,10()(),xfxtdt且0()limxfxAx(A为常数),求()x并讨论()x在0x处的连续性.六、(本题满分8分)设11112,(),1,2,...,2nnnaaana证明：(1)limnna存在；(2)级数111nnnaa收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1)设B是秩为2的54矩阵,123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)TTT是齐次线性方程组0Bx的解向量,求0Bx的解空间的一个标准正交基.(2)已知111是矩阵2125312Aab的一个特征向量.(Ⅰ)试确定参数,ab及特征向量所对应的特征值；(Ⅱ)问A能否相似于对角阵？说明理由.八、(本题满分5分)设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆；(2)求1AB.九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、(本题满分5分)设总体X的概率密度为(1),01,()0,xxfx其它，4其中1是未知参数.12,,,nxxx是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量.51997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sinln(1)lim1,lim1xxxxxx.【解析】将原式的分子、分母同除以x,得2001sin13sincos3cos3limlim.ln(1)(1cos)ln(1)2(1cos)xxxxxxxxxxxxxx评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0()lim()xxfxgx应存在或为,而本题中,200111(3sincos)3cos2cossinlimlim1cos(1cos)ln(1)sinln(1)1xxxxxxxxxxxxxxx极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.(2)【答案】(2,4)【解析】考察这两个幂级数的关系.令1tx,则1212111nnnnnnnnnnattnattat.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nnnat的收敛半径为31nnnat的收敛半径为3.从而2111nnnnnntatnat的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)nnnnax,它的收敛区间为313x,即(2,4).评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.对于0nnnax,若1limnnnaa它的收敛半径是1R.但是若只知它的收敛半径为R,则11limnnnaaR,因为1limnnnaa可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】2xye【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率xky,而xy可由e的参数方程6coscos,sinsinxeye求得：2sincossincos,1cossincossinxxyeeyyxee,所以切线的方程为2(0)yex,即2xye.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】3t【解析】由0AB,对B按列分块,设123,,B,则123123,,,,0,0,0ABAAAA,即123,,是齐次方程组0Ax的解.又因BO,故0Ax有非零解,那么12210243433730311301Attt,由此可得3t.评注：若熟悉公式0AB,则()()3rArBn,可知()3rA,亦可求出3t.(5)【答案】25【解析】方法1：利用全概率公式.求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件iA“第i个人取得黄球”,1,2i,则完全事件组为11,AA(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知1202505PA黄球的个数球的总数；1303505PA白球的个数球的总数；2120119|50149PAA(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20119,球的总数变成50149,第二个人取得黄球的概率就为1949)；2120|49PAA(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为2049).故应用全概率公式21211212193202||5495495PAPAPAAPAPAA.7方法二：利用“抽签原理”.只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为202505.【相关知识点】1.全概率公式:2121121||PAPAPAAPAPAA；2.古典型概率公式：()iiAPA有利于事件的样本点数样本空间的总数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论(,)fxy在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义00(0,0)(0,0)(,0),(0,)xyfdfdfxfyxdxydy,由于(,0)0(),(0,)0()fxxfyy,偏导数且(0,0)(0,0)0,0ffxy.再看(,)fxy在(0,0)是否连续？由于222(,)(0,0)01lim(,)lim(0,0)2xyxyxxfxyfxx,因此(,)fxy在(0,0)不连续.应选(C).评注：①证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数(,)fxy在某点000(,)Mxy不连续的方法之一是：证明点(,)xy沿某曲线趋于0M时,(,)fxy的极限不存在或不为00(,)fxy.②证明00(,)(,)lim(,)xyxyfxy不存在的重要方法是证明点(,)xy沿两条不同曲线趋于000(,)Mxy时,(,)fxy的极限不想等或沿某条曲线趋于0M时,(,)fxy的极限不存在.对于该题中的(,)fxy,若再考察(,)(0,0)(,)(0,0)001lim(,)lim00lim(,)2xyxyyxyxfxyfxy,(,)(0,0)lim(,)xyfxy不存在.8CabEDxyOAB由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如(,),fxyxy它在点(0,0)处连续,但(0,0)xf与(0,0)yf都不存在.可见二元函数的连续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系.(2)【答案】(B)【解析】方法1：用几何意义.由()0,()0,()0fxfxfx可知,曲线()yfx是上半平面的一段下降的凹弧,()yfx的图形大致如右图.1()baSfxdx是曲边梯形ABCD的面积；2()()Sfbba是矩形ABCE的面积；31[()()]()2Sfafbba是梯形ABCD的面积.由图可见213SSS,应选(B).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的()fx都成立的结果,故可以取满足条件的特定的()fx来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]fxxx,则2123213211115,,248SdxSSSSSx