1999南京第16届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

16届复赛试题及答案第1页共8页第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题（全卷共六题，总分为140分）一、（20分）一汽缸的初始体积为V0，其中盛有2摩尔的空气和少量的水（水的体积可忽略）。平衡时气体的总压强是3.0大气压，经做等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压。若让其继续做等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：1．汽缸中气体的温度；2．汽缸中水蒸气的摩尔数；3．汽缸中气体的总压强。假定空气和水蒸气均可当作理想气体处理。二、（25分）两个焦距分别是f1和f2的薄凸透镜L1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。1．若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2．根据所得结果，分别画出各种可能情况下的光路示意图。三、（25分）用直径为1mm的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于10－6A。试估算该超导材料电阻率数量级的上限。提示：半径为r的圆环中通以电流I后，圆环中心的磁感应强度为B=02Ir，式中B、I、r各量均用国际单位，70104N/A2。四、（20分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L。它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。1．试计算该双星系统的运动周期计算T。2．若实验上观测到的运动周期为观测T，且1::NTT计算计算（N＞1）。为了解释观测T与计算T的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。五、（25分）六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D1、D2、…、D5。现在将D2的1、3、5三点分别与D1的2、4、6三点用导线连接，如图复16-2所示。然后将D3的1、3、5三点分别与D2的2、4、6三点用导线连接，……依此类推，最后将D5的1、3、5三点分别连接到D4的2、4、6三点上。1．证明全部接好后，在D1上的1、3两点间的等效电阻为724627R。2．求全部接好后，在D5上的1、3两点间的等效电阻。图复16-1532164图复16-2D251D1562314426316届复赛试题及答案第2页共8页六、（25分）如图复16-3所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在A（0x，0，0）处放一带电量为－q（q0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于x轴，与z轴的夹角为（如图复16-3所示）设小物块和绝缘平面间的摩擦系数tan，且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。BOzyAx0θxE图复16-316届复赛试题及答案第1页共8页第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、参考解答1只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之和：3.0atmppp总空饱00（1）第一次膨胀后102VV2.0atmppp总空饱11（2）由于第一次膨胀是等温过程，所以0102pVpVpV空空空011（3）解（1）、（2）、（3）三式，得1.0atmp饱（4）2.0atmp空0（5）1.0atmp空1（6）由于1.0atmp饱，可知汽缸中气体的温度0373KT（7）根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。2设水蒸气为mol水．经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为p饱，这时对于水蒸气和空气分别有10pVRT饱水（8）1002pVRTRT空1空（9）由此二式及（5）、（6）式可得2mol水（10）3.在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有21pVpV总2总1（11）由题意知，204VV，102VV，再将（2）式代入，得1.0atmp总2（12）二、参考解答l．在所示的光路图（图复解16-2-1）中，人射光AB经透镜1L折射后沿BC射向2L，经2L折射后沿CD出射．AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、P和P，如果P为物点，因由P沿主轴射向1O的光线方向不变，由透镜性质可知，P为P经过1L所成的像，P为P经2L所成的像，因而图中所示的1u、1v、2u、2v之间有下列关系：111111uvf（1）222111uvf（2）21duv（3）当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得21vhhu,21uhhv从而求得：16届复赛试题及答案第2页共8页2211vuuv（4）联立方程（1）、（2）、（3）、（4），消去1v、2u和2v，可得1112()fdudff（5）由于d、1f、2f均已给定，所以1u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在1L的左方与1L相距1112()fdudff处，又由于1u与无关，凡是通过该点射向1L的入射光线都和对应的出射光线相互平行．2．由所得结果（5）式可以看出，当12dff时，10u，此情况下的光路图就是图复解16-2-1．当12dff时，1u，0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16-2-2．当12dff时，10u，这表明P点在1L的右方，对1L来说，它是虚物．由（1）式可知，此时10v，由2211fuvf可知，20u，又由21220uvvu可知，20v，所以此时的光路图如图复解16-2-3．三、参考解答根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I时，圆环中心的磁感应强度012Br穿过圆环的磁通量可近似为02BSIr（1）根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小02IrttE（2）圆环的电阻02rIRIItE（3）根据题设条件0.05mr，720410NA－－，100AI，61410A/s310A/sIt－－,代入（3）式得23310R－（4）由电阻与电阻率、导线截面积S、长度L的关系LRS及已知导线的直径1mmd，环半径5cmr，得电阻率2297.510m8SdRRLr－（5）16届复赛试题及答案第3页共8页四、参考解答1．双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速率为v，向心加速度满足下面的方程：222/2vGMMLL（1）2GMvL（2）周期2(/2)2LLTLvGM计算＝（3）2．根据观测结果，星体的运动周期1TTTN观察计算计算＝（4）这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M位于中点处的质量点相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观，则有2222(/2)vGMMMMGLLL观/2（5）(4)2GMMvL观＝（6）因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得11vvN观1＝（7）把（2）、（6）式代入（7）式得14NMM（8）设所求暗物质的密度为，则有341324LNM故33(1)2NML（9）五、参考解答解法一：1．（1）电阻图变形．此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示．现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图预解1—5-2与图预解16-5-3所示．整个连好的线路相当于把nD的三个顶点分别接到1nD的三个中点上，图预解16-5-1变为图预解16-5-4．这样第1问归结为求图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。16届复赛试题及答案第4页共8页（2）递推公式．为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为r的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为R的电阻构成的三角环的中点上（如图预解16-5-5所示）。图预解16-5-6是由六个阻值为R的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等，我们称图预解16-5-6中的R为等效单环电阻．用符号“//”表示电阻的并联，如1//(1/)(1/)BABARRRR由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻1,3R等于图预解16-5-7中1、0间的电阻1,0R的2倍，即131,0222{[////(2)]}//12//1112432//231433RRRrrRRRRRrrrRRRrRrRRrR，=16届复赛试题及答案第5页共8页1//3RrR（1）同理，图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻1,3R为1,342[(2)//]3RRRR（2）由（1）、（2）式得等效单环电阻R为31//44RRrR（3）2.第一问现在考虑把1D、2D、3D、4D、5D按相反的次序，由内向外依次连接的情况．首先将4D接在5D外面，求双环54DD的等效单环电阻(2)R〔即（3）式中的R〕．这时rR．由（3）式得到(2)R为(2)317//448RRRRR其次，在双环54DD外面接上3D，这时(2)rR．三环534DDD的等效单环电阻(3)R为(3)(2)3131713////4444815RRRRRRRR由此可得一般公式，(1)s环的等效单环电阻1()sR可由sR()求出1()31//44ssRRRR()（4）于是131543313197////4444112RRRRRRRR()()[phone]////4444209RRRRRRRR()()＋由（2）式1,3(4/3)RR得出由一个环（5D）、两个环（54DD）直至五个环（54321DDDDD）构成的线路1、3点间的电阻为(1)1,344'33RRR(2)1,3477386RRR(3)1,34135231545RRR(4)1,349797311284RRR(5)1,341817243209627RRR答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为724627R．证毕。3.第二问根据五个D组成的圆柱形网络的对称性，5D的l、3两点等价于1D的2、4两点．等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示．设二图等价，求图预解16-5-9中的R即可．16届复赛试题及答案第6页共8页(4)1194(2)//(2)156209297RRRRRR所以(5)2,42388//23627RRRRR答：所求值为388627R。解法二：第一问图预解16-5-3可看做5D的接线图，其一半如图预解16-5-10所示，竖直粗线为一短路线．一个环（5D）构成线路的1与0点间的