2012-2013高中数学2-2-2等差数列的性质同步检测新人教B版必修5

-1-第2章2.2第2课时等差数列的性质一、选择题1．(2010·大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋……＋a7＝()A．14B．21C．28D．35[答案]C[解析]∵{an}是等差数列，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么a1－a2b1－b2等于()A．1B.23C.34D.43[答案]D[解析]∵x，a1，a2，y成等差数列，∴a1－a2＝－d＝－y－x3.∵x，b1，b2，b3，y成等差数列，∴b1－b2＝－d′＝－y－x4.∴a1－a2b1－b2＝43.3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a1010B．a2＋a1000C．a3＋a100≤0D．a51＝0[答案]D[解析]由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝51a51＝0，∴a51＝0.4．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30B．27C．24D．21[答案]B[解析]b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，∵{an}成等差数列，∴b1，b2，b3成等差数列，∴a3＋a6＋a9＝b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.-2-5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15B．30C．31D．64[答案]A[解析]a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.6．在等差数列{an}中，am＝n，an＝m(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n为()A．m－nB．0C．m2D．n2[答案]B[解析]∵{an}是等差数列，∴设公差为d，则an－am＝(n－m)d＝m－n，∴d＝－1.∴am＋n＝am＋md＝n＋nd＝n－n＝0.二、填空题7．(2011·重庆理)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[答案]74[解析]a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.8．等差数列{an}中，公差为12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝________.[答案]85[解析]由等差数列的定义知a2＋a4＋a6＋…＋a100＝a1＋a3＋a5＋…＋a99＋50d＝60＋25＝85.三、解答题9．已知数列{an}满足(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，且a1＝1，an0.(1)求证：数列{a2n}为等差数列；(2)求an.[解析](1)由(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，得a2n＋1－a2n＝16，∴数列{a2n}构成以a21＝1为首项，以16为公差的等差数列；(2)由(1)知a2n＝1＋(n－1)×16＝16n－15，又an0，∴an＝16n－15.-3-10．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供的两个不同的信息表如下图所示：甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息：(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3)哪一年的规模最大？请说明理由．[解析](1)设第n年每个养鸡场饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由图知{an}、{bn}均为等差数列且1≤n≤6，a1＝1，a6＝2，∴an＝0.2n＋0.8，b1＝30，b6＝10，∴bn＝－4n＋34，∴a2＝0.2×2＋0.8＝1.2，b2＝－4×2＋34＝26，a2b2＝1.2×26＝31.2(万只)．∴第2年有养鸡场26个，饲养鸡31.2万只．(2)a1b1＝1×30＝30(万只)，a6b6＝2×10＝20(万只)．∵a6b6a1b1，∴第6年养鸡业规模比第1年缩小了．(3)每年出产鸡的只数为y＝an·bn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝25(－2n2＋9n＋68)＝－45(n－94)2＋1254(1≤n≤6)，∴当n＝2时，y有最大值．即第2年规模最大，共生产鸡31.2万只．-4-能力提升一、选择题1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为()A．14B．15C．16D．17[答案]C[解析]由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)－13(a8＋3d)＝23a8＝16.2．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a＋b的值是()A.38B.1124C.1324D.3172[答案]D[解析]设方程x2－x＋a＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝1，设x2－x＋b＝0的两根为x3和x4，则x3＋x4＝1.不妨设x1＝14，则x2＝34，故由x1x2＝a得a＝316，公差d＝34－143＝16，∴x3＝14＋16＝512，x4＝512＋16＝712，∴b＝x3x4＝35144，∴a＋b＝3172.二、填空题3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.[答案]105[解析]由题意，设数列{an}的公差d＞0，则a1＋a1＋d＋a1＋2d＝15a1a1＋da1＋2d＝80，求得d＝3故a11＋a12＋a13＝a1＋a2＋a3＋30d＝15＋30×3＝105.4．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．[答案]4,6,8或8,6,4[解析]设这三个数为a－d，a，a＋d，则-5-a－d＋a＋a＋d＝18a－d2＋a2＋a＋d2＝116，∴a＝6d＝±2.∴三数为4,6,8或8,6,4.三、解答题5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝1，且an＝34an－1＋14bn－1＋1bn＝14an－1＋34bn－1＋1(n≥2)，若cn＝an＋bn，(1)证明数列{cn}是等差数列；(2)求数列{cn}的通项公式．[解析](1)∵an＝34an－1＋14bn－1＋1bn＝14an－1＋34bn－1＋1(n≥2)，∴an＋bn＝an－1＋bn－1＋2，∴cn＝an＋bn，∴cn－1＝an－1＋bn－1，∴cn－cn－1＝2(n≥2)，∴数列{cn}是以c1＝a1＋b1＝3为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知cn＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.6．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销；买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．[解析]设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440即800－20n≥440，得n≥18.当购买台数小于18台时，每台售价为800－20n，在台数大于等于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n10时，600n(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，-6-当10n≤18时(800－20n)n600n，当n18时，440n660n.答：当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．7．是否存在数列{an}，同时满足下列条件？①{an}是等差数列，且公差不为零；②数列{1an}也是等差数列．若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由．[解析]设符合条件的数列{an}存在，则an＋an＋2＝2an＋1，且1an＋1an＋2＝2an＋1.即(an＋an＋2)1an＋1an＋2＝4.所以(an＋an＋2)2＝4anan＋2.故(an－an＋2)2＝0，故an＝an＋2.这与公差不为0矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}.