1插值

1.插值冯彦2020/1/141NUIST主要内容•关于插值•Lagrange插值•差商和Newton插值•Hermite插值•三次样条插值2020/1/142NUIST1问题描述x0x()fx1xnx0()fx1()fx()nfx()yfx假设存在函数,并已知在一些节点上的函数值值插值问题:基于已知数据以建立一个可以方便计算除了测量点以外的其它点函数值的的简单表达式2020/1/143NUIST插值()ifx对于函数，i=0,1…n，,ixab，建立函数()Px并使其满足条件：()()iiPxfx1.12020/1/144NUIST是否存在一个存在且唯一的插值多项式？()nPx当n=2为抛物线（2次）插值多项式当n=1为线性（1次）插值多项式()nPx…为n次插值多项式2020/1/145NUIST0det()0nijjinAxx11(,())xfxnn(,())xfx,存在线性方程组…20102000...()nnaaxaxaxfx20112111...()nnaaxaxaxfx2012...()nnnnnnaaxaxaxfx…20002111211...1nnnnnnxxxxxxAxxx1.2当节点为x0,x1…xn互不相同并满足插值条件,则n-阶插值多项式存在且唯一.()nPx01()...nnnPxaaxax通过点00(,())xfx当定理2020/1/146NUIST2.Lagrange插值多项式011010110()()()xxxxLxfxfxxxxx0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxfxfxfxxxxxxxxxxxxx规律：Ln(x)是基函数li(x)的线性组合，其系数为f(xi)通过点(x0,f(x0))、(x1,f(x1)):通过点(x0,f(x0))、(x1,f(x1))、(x2,f(x2)):1,(),,0,1,...0,jijixijnjil线性x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)抛物线x0x1x2f(x)2020/1/147NUIST1'01()()()()nniiiinxfxxxx0()()()()nnniiiLxPxlxfxLagrange基函数：10()()njnjxxx10'()()niijnjjixxx1'01()()()()njnijijiinjixxxxxxxxxl2020/1/148NUIST插值余项其余项表达式为：(1)1()()()()()(1)!nnnnxfxxxnfRL其中(,)ab并取决于x()nxL满足条件()()niifxxL现有互不相同的节点012...nabxxxx()()nfx[,]ab在区间假设连续在区间(1)()nxf(,)ab存在2020/1/149NUIST(1)1()()()()()(1)!nnnnxfxxxnfRL()0,0,1,...inxinR所以01()()()()()...()()nnnxfxLxxxxxxxKxR1()()nxKx1()()()()(),[,]nntftLtKxttab取x作为一个固定点并建立辅助函数根据插值条件和余项定义，以及罗尔定理，得到：(1)(1)()()(1)!()0nnfnKx(1)()(),(,)(1)!nfKxabnSo2020/1/1410NUIST若已得(1)1max()nnaxbMfx则误差边界为11()()(1)!nnnMRxxn问题:基于误差表达式，如何能获得更好的近似结果?2020/1/1411NUIST例1现有数据表0110101101264()()()226446xxxxxxLxfxfxxxxxx6sin()x43122232求取函数的线性、抛物线插值多项式，基于多项式估算5sin18及其对应的误差。（解析解为0.76604）解:线性插值多项式为：2020/1/1412NUIST余项为(1)11()()sin()()()()()()(1)!2!64264nnfRxxxxxxnf155sin()0.776141818L15()55()()()182!186184fR(,)63150.00762()0.0131918R的函数值为5sin18误差为2020/1/1413NUIST()()()()()()123436364222()()()()()()646346433634xxxxxx(1)21()()()()()()()(1)!3!643cos()()()6643nnfRxxxxxnxxxf255sin()0.765431818L0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxfxfxfxxxxxxxxxxxxx抛物线插值多项式为：的函数值为5sin18余项为2020/1/1414NUIST15225cos555()()()()18618618418350.00044()0.0007718RR0.60.70.80.90.550.60.650.70.750.80.85误差为sinx红色曲线为,绿色曲线为插值多项式2020/1/14NUIST•写出基本的表达式•建立基函数•建立基函数与节点值的线性组合•估算误差(1)()nxf1()nx•计算的最大值以及2020/1/1416NUISTLagrange插值多项式的优缺点：•基函数计算复杂；且已得的无用，需重新算过；()nLx对于计算1()nLx•高次插值精度未必高；——Runge现象1()()nnLxLx，，比较n-1次及n次插值多项式若非常接近，则以n次插值否则增加节点计算()()nLxfx，1()nLx。通常方法：实用后验估计•不知道选择多少个插值节点为宜优点：结构紧凑、适于理论分析缺点：2020/1/1417NUIST基本思想缺点：增加节点时，需要计算，而已得的不能被利用,必须重新计算()nLx1()nLx为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写；——由唯一性，仅是形式上的变化已知n+1个互异插值节点由插值多项式的存在唯一性，可以构造Lagrange插值多项式：01nxxx，，，，00()()()nninkkkkikiikxxLxlxylxxx，；期望：的计算只需要对作一个简单的修正.()nLx1()nLx3.差商与Newton’s插值2020/1/1418NUIST1011()()()()()nnnnnLxLxxxxxxaax，待定；考虑1()()()nnhxLxLx是次数的多项式，且有()hxn1()(0)()2101jnjnjjhxLnxLx，，，，，；011()()()()nnhxxxxxxxa，由新增节点可以计算出从而1()()nnLxLx；na，2020/1/1419NUIST01020101()()()()...()...()nnnpxaaxxaxxxxaxxxx方程满足插值条件，并且000()()npxafx当0,xx当1,xx101101()()(),npxaaxxfx然后10110()()fxfxaxx当2,xx20120220212()()()()(),npxaaxxaxxxxfx10212110220()()()()fxfxfxfxxxxxaxx2020/1/1420NUIST101010[...][...][,...]nnnnfxxfxxfxxxxx差商一般定义为：称为基于节点n阶差商，01,...nxxx的它与导数相似'00()()[,]lim(,)lim()xxfxxfxfxxfxxxfxx()()'()limjiijixxijfxfxfxxx()()[,]jiijjifxfxfxxxx一阶差商如果两个节点相同，则()()[,]jiijjifxfxfxxxx一般而言，00d[,,,...,][,,...,]dnnfxxxxxxxx2020/1/1421NUIST0101()[,...]'()nknknkfxfxxxx可表示为其中10()()nnjjxxx性质1节点n的01,...nxxx阶差商性质2性质31010[,...,,...][,...,,...]iiininfxxxxfxxxx当,kn的第k阶差商01[,,......]kfxxx差商具有对称性n阶多项式()fx当kn时其值恒等于0是一个nk阶的多项式.2020/1/1422NUISTNewton插值假设函数()yfx在点01,,...,nxxxx处的函数值为01(),(),...(),()nfxfxfxfx其一阶差商000()()[,]fxfxfxxxx000()()[,]()fxfxfxxxx类似001011[,][,][,,]()fxxfxxfxxxxx010120122[,,][,,][,,,]()fxxxfxxxfxxxxxx010101[,,...,][,,...,][,,,...,]()nnnnfxxxfxxxfxxxxxx...在规整方程后，可得0010012010101()()[,]()[,,]()()...[,,...,]()...()nnfxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxx00[,,...,]()...()nnfxxxxxxx2020/1/1423NUIST故n阶Newton插值多项式可表示为0010012010101()()[,]()[,,]()()...[,,...,]()...().nnnNxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxx~00()[,,...,]()...()nnnRxfxxxxxxx所以~()()()nnfxNxRx其截断误差为性质4若()fx在区间()()nfx有[,]ab,并且节点[,],0,1...,kxabkn可以得到()01()[,,...],(,)!nnffxxxabn2020/1/1424NUIST例：()fxx试着求出出2阶Newton插值多项式,加上一个点x=2.3并确定3阶多项式xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]2.01.4142.11.4490.3492.21.4830.341-0.041N3(x)==1.414+0.349(x-2)-0.041(x-2)(x-2.1)+0.009(x-2)(x-2.1)(x-2.2)xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]2.01.4142.11.4490.3492.21.4830.341-0.0412.31.5160.333-0.0380.009N2(x)=001001201()[,]()[,,]()()fxfxxxxfxxxxxxx=1.414+0.349(x